Ecuación de MRUA independiente del tiempo

[QED]

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Obtención de la relación entre los cuadrados de las velocidades y el espacio recorrido

(Subdemostración de la demostración de la Ecuación de Conservación de la Energía Mecánica en un Campo Gravitatorio, ítem cuatro)

Partiendo de la definición de aceleración

$$a=\frac{\dd v}{\dd t}$$

$$\dd v=a\dd t$$

multiplicando por $v$ a ambos lados

$$v\dd v=va\dd t$$

y como

$$v \ a \ \dd t=\frac{\dd x}{\dd t} \ a \ \dd t$$

entonces

$$v\dd v=a\dd x$$

integrando ahora entre las posiciones inicial y final

$$\int_{V_o}^{V_f}v\dd v=\int_{x_o}^{x_f}a\dd x$$

como el movimiento es uniformemente acelerado $a=constante$ y puede salir de la integral

$$\int_{V_o}^{V_f}v\dd v=a\int_{x_o}^{x_f}\dd x$$

$$\frac{{V_f}^2}{2}-\frac{{V_o}^2}{2}=a(x_f-x_o)$$

llamando $\Delta{x}=(x_f-x_o)$ llegamos a la expresión buscada

$$\boxed{V_f^2=V_o^2+2a\Delta{x}}$$

La conclusion de esta demostracion esta implementada en las siguientes demostraciones:

- Ecuación de Conservación de la Energía Mecánica en un Campo Gravitatorio


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