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Cogito ergo cogito

Demostración de la fórmula del volumen del tronco de cono

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Si buscan en internet, o hacen memoria para recordar lo que en el primer ciclo de secundaria le enseñaron, recordarán que la fórmula del volumen del cono truncado es:

\displaystyle \boxed{V_{Ct}=\frac{1}{3} \pi  h (R^2 + r^2 + Rr)}

Siendo:
h = altura del tronco de cono
R = radio de la base mayor
r = radio de la base menor

A continuación, demostraremos la fórmula.

Un cono truncado recto (o tronco de cono recto) es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje.

Nombre:  cono_truncado.jpg
Vistas: 17754
Tamaño: 20,1 KB

Por tanto, el volumen del tronco de cono será igual a el volumen que ocuparía el cono total menos el volumen que ocupa el "cono menor" que debería de tener encima.

\dst V_{Ct} = V_{Ctotal}} - V_{Cmenor}

\displaystyle V_{Ct} = \left( \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^2 \cdot H\right) - \left[\frac{1}{3} \...

\displaystyle V_{Ct} = \frac{1}{3} \pi [R^2H - r^2(H-h)]

Por semejanza, sabemos que:

\displaystyle \frac{R}{r} = \frac{H}{H-h}\quad \Rightarrow \quad \displaystyle H = \frac{R(H-h)}{...


\displaystyle Hr - RH = -Rh\quad \Rightarrow \quad \displaystyle H(r-R) = -Rh  \quad \Rightarrow ...


Una vez sabemos el valor de H, podemos sustituirlo en la ecuación (3):


Sustituimos:

\displaystyle V_{Ct} = \frac{1}{3} \pi \left[R^2\cdot \left(\frac {-Rh}{r-R}\right) - r^2\left(\f...

= \dfrac{1}{3} \pi \left[\left(\frac{-R^3h}{r-R}\right) + \left(\frac {Rhr^2}{r-R}\right) + hr^2\...

 = \dfrac{1}{3} \pi \left[\dfrac{Rh(r^2-R^2)}{r-R} + hr^2\right]= \frac{1}{3}h \pi  \left[\frac{R...

= \frac{1}{3}h \pi  \left[\frac{R(r-R)(r+R)}{r-R} + r^2\right]=\dfrac{1}{3} \pih [R(r+R) + r^2]=\...

Por lo que:

\displaystyle \boxed{\boxed{V_{Ct}=\frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)}}

QED
Se admiten quejas y sugerencias.
Hay una demostración más rigurosa, mediante integrales, que podéis encontrar a continuación:
-Demostración de la fórmula del volumen del tronco de cono (sólidos de revolución)


Saludos,
Ángel Relativamente

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Actualizado 17/08/2013 a las 00:21:32 por angel relativamente

Categorías
Matemáticas

Comentarios

  1. Avatar de DFP
    Hola, estaba merodeando y he visto el grupo de demostraciones, y en concreto ésta demostración. Nada más verla he pensado, vamos a sacarla... pero como siempre, new problem.
    Sacar el volumen del cono truncado mediante la resta del entero y del que falta es la vía "lógica" para resolverlo. Pero mientras lo resolvía no pensé en ello, más que nada porque ni me acordava de la ecuación para el volumen del cono .
    Así que he estado 20 minutos intentando inferir una ecuación para el cono truncado mediante las fórmulas del cilindro. Utilizando relaciones de radios con la altura consigo algún que otro avance, pero ni de cerca consigo sacar ningún tipo de ecuación para encontrar el volumen del cono truncado mediante el volumen de cilindros y relaciones de radios y altura.
    Alguien cree que he malgastado 20 minutos?? Si la respuesta es negativa, me alegraré entre otras cosas, y me gustaría que me dijerais si hay algún método de resolución por la vía altura-área (radios).

    Merci por las posibles respuestas o por leerlo si lo haceis .

    PD: haciendo mates en pleno julio por placer... esto debe ser cosa de la ola de calor
  2. Avatar de angel relativamente
    En primer lugar gracias por comentar en este artículo.
    Así que he estado 20 minutos intentando inferir una ecuación para el cono truncado mediante las fórmulas del cilindro. Utilizando relaciones de radios con la altura consigo algún que otro avance, pero ni de cerca consigo sacar ningún tipo de ecuación para encontrar el volumen del cono truncado mediante el volumen de cilindros y relaciones de radios y altura.
    Mmm... La verdad esque yo no me lo he planteado con cilindros. Pero, la fórmula del volumen del cilindro es:

    V_{ci}=\pi r^2\cdot h

    Y la del cono es:

    V_{co}=\displaystyle\frac{1}{3} \pi r^2\cdot h

    CONCLUSIÓN: En un cilindro de radio  r caben 3 conos de radio  r
    No se si se puede hacer más con la fórmula del cilindro... Aunque pienso que al fin y al cabo es complicarlo más para despues tener que usar la fórmula del cono, que alguien me corrija si me equivoco.

    Alguien cree que he malgastado 20 minutos??
    Si has dedicado 20 minutos a hacer uso de tu cabeza para intentar llegar a algo, no se puede decir que los hayas malgastado. Si esos 20 minutos los hubieses dedicado a ver el canal astrología o un programa de corazón, ya no podría decir lo mismo.
    PD: haciendo mates en pleno julio por placer... esto debe ser cosa de la ola de calor
    ¿Acaso no podemos disfrutar de los placeres cuando nos apetezca?
  3. Avatar de DFP
    Bueno, la verdad es que creo que a veces mirar la wikipedia no es buena idea, por la falta de filtros que pasan, almenos en cuestión de ciéncia "conceptual" desde mi punto de vista, aunque hace un buen trabajo recopilando información de tantas personas. Aún así es cierto que las ecuaciones son ecuaciones aqui y en cualquier sitio. Lo comento porque he visto la demostración del volumen del cono, donde se integra entre 0 y h el área del cilindro en función de la h. Es bastante lógico conceptualmente.

    Así que descarto mis infructuoso intentos por sacar mediante relación de radios y la altura (incluso llegué a usar el ángulo del lateral respecto a la horizontal de plano ). Es un detalle que visites éste blog de tanto en tanto, ya que de no ser por ese motivo alomejor estaría todavía pensando en sacarme relaciones de la manga.

    Con ésto me despido, y espero ver más demostraciones para poder darle vueltas a la cabeza... ya he visto las derivadas. Te felicito por tu trabajo, espero ser un incentivo más para que continues así.

    PD: Con referéncia a los 20 minutos de pensamiento matemático... tan solo lo decía porque si finalmente, como ha pasado, no había ningún tipo de relación directa R-r-h, estaba búscando algo sin solución, y para el post no era muy beneficioso, la verdad.
    Actualizado 10/07/2010 a las 22:13:35 por DFP
  4. Avatar de radrian08
    \sqrt{r}
  5. Avatar de angel relativamente
    Gracias por tu aportación
  6. Avatar de No registrado
    Verdaderamente a mí no se me ocurre otra forma de hacer la demostración que la aparece en este artículo y es la que le explico a mis alumnos de secundaria cuando se la doy en clase. No es especialmente complicada (Sólo usa el teorema de Tales y la fórmula del volumen del cono). No sé que pretendía hacer el compañero con los cilindros, pero no veo a donde podía llegar.
    Muy buen post y muy bien explicado espero que sirva a mucha gente que busque una demostración sencilla de esta fórmula
  7. Avatar de angel relativamente
    Artículo actualizado. He mejorado la presentación (fotografía y limpieza de las fórmulas).

    Respecto a lo que le dije a DFP hace 2 años y 2 días, me retracto. Es posible hacerlo con integrales. Procedo a hacer la demostración ahora que tengo el nivel.

    Saludos,
  8. Avatar de No registrado
    hola soy un estudiante de la universidad en verdad me hacia falta esta informacion gracias amigo
  9. Avatar de No registrado
    q significa la H y la h??
  10. Avatar de angel relativamente
    La h lo digo al principio, es la altura del tronco de cono (el de la imagen).
    La H es la altura de el "cono grande", es decir, el que habría si no lo hubiésemos cortado.

    Saludos,
  11. Avatar de No registrado
    Hola!
    Me gustaria que me ayudarais con una duda que tengo. Ayer estuve con mi profesor de mates intentando desglosar la formula del volumen del cono truncado, por logica, apartir del dibujo. Pero no logramos averiguar de donde sale el 3 de la formula. lo hicimos despues con integrales y asi si que nos sale. Pero quiero saber o explicar de forma "geometrica" la formula.
    muchas gracias.
  12. Avatar de angel relativamente
    Hola. Pues en este artículo está la demostración geométrica, ¿qué no entiendes?

    Si con el 3 te refieres a \dfrac{1}{3}, es evidente. Para hallar el volumen del tronco de cono lo que hacemos es una diferencia de volúmenes de dos conos, por lo que podemos sacar factor común \dfrac{1}{3}.
  13. Avatar de No registrado
    Me ha gustado su artículo y las respuestasa dadas.

    Podeis ayudarme con esta: Area del cono truncado en función de la altura y de los radios (y diametros) y la ecuación más simple posible para un cono truncado de 45 grados
    gracias
  14. Avatar de angel relativamente
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    Gracias por los elogios
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