Demostración de la fórmula del volumen del tronco de cono (sólidos de revolución)

[QED]

Bienvenido lector.
En este artículo nos proponemos demostrar la fórmula del volumen de un cono truncado mediante la fórmula de los cuerpos de revolución. Con una pequeña base en integrales basta para entenderlo. Si no se tiene, quizá sea más satisfactoria la demostración mediante las fórmulas geométricas convencionales que hago en otro artículo de blog. A continuación daré unas pautas para entender la base de la demostración. Antes de nada recomiendo leer los artículos sobre sólidos de revolución hechos por otro usuario en su blog.

La fórmula para calcular el volumen que genera una función $f(x)$ contínua en un intervalo $[a,b]$ cuando rota sobre el eje x es:

$$\dst V=\int_a^b\pi f(x)^2\dd x$$

No vamos a pararnos a justificar esta fórmula porque daría para otro artículo, pero es bastante obvio viendo que si $x\in [a,b]$, entonces $\pi f(x)^2$ será el área del círculo que genera al girar el punto $(x,f(x))$ sobre el eje x. Por tanto, al hacer la integral entre $a$ y $b$ obtenemos la suma del área de los infinitos círculos generados en dicho intervalo, lo cual nos da el volumen.

Sabido esto, procedemos a demostrar la fórmula del volumen del cono truncado. La fórmula es:

$$\boxed{V_{Ct}=\frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)}$$

Siendo:
$h$ = altura del tronco de cono
$R$ = radio de la base mayor
$r$ = radio de la base menor

Para ello, veamos la siguiente imagen:

La función $f(x)$ es la recta que pasa por el origen cuya ecuación es, como podemos apreciar: $f(x)=\dfrac RH x$

Por tanto, el volumen del tronco de cono es:

$$\dst V=\int_a^b\pi\left(\dfrac RH x\right)^2\dd x=\dfrac{\pi R^2}{H^2}\int_a^b x^2\dd x=\dfrac{\pi R^2}{H^2}\cdot \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_a^b=\dfrac{\pi R^2}{3H^2}\cdot\left(b^3-a^3\right)$$

Puesto que hemos llamado $H$ a la distancia entre el origen y el punto $b$, tenemos que $H=b$. Y puesto que hemos llamado $h'$ a la distancia entre el origen y el punto $a$, tenemos que $h'=a$ . Sustituyendo en (1):

$$V=\dfrac{\pi R^2}{3H^2}\cdot\left(H^3-h'^3\right)$$

Por semejanza vemos que:

$$\dfrac{R}{H}=\dfrac{r}{h'}\quad \Rightarrow \quad h'=\dfrac{rH}{R}$$

Sustituimos (3) en (2) y operamos:

$$V=\dfrac{\pi R^2}{3H^2}\cdot\left[H^3-\left(\dfrac{rH}{R}\right)^3\right]=\dfrac{\pi R^2}{3H^2}\cdot\left(H^3-\dfrac{r^3H^3}{R^3}\right)=\dfrac{\pi R^2H}{3}\cdot\left(1-\dfrac{r^3}{R^3}\right)$$

Además, puesto que $H=h+h'$, tenemos, sustituyendo (3):

$$H=h+h'=h+\dfrac{rH}{R}=\dfrac{hR+Hr}{R}\quad \Rightarrow \quad RH-Hr=Rh\quad \Rightarrow \quad H=\dfrac{Rh}{R-r}$$

Sustituimos (5) en (4) y simplificamos:

$$V=\dfrac{\pi R^2\cdot \left(\dfrac{Rh}{R-r}\right)}{3}\cdot\left(1-\dfrac{r^3}{R^3}\right)=\dfrac{\pi R^3 h}{3(R-r)}\cdot \left(1-\dfrac{r^3}{R^3}\right)=\dfrac{\pi R^3 h}{3(R-r)} - \dfrac{\pi r^3 h}{3(R-r)}$$

$$=\dfrac{\pi h}{3(R-r)}\cdot(R^3-r^3)$$

Factorizando el polinomio $R^3-r^3$, nos queda: $R^3-r^3=(R-r)(R^2+r^2+rR)$, por tanto:

$$V=\dfrac{\pi h}{3(R-r)}\cdot[(R-r)(R^2+r^2+rR)]\quad \Rightarrow \quad \boxed{\boxed{V=\frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)}}}$$

QED

Si quisiéramos calcular la fórmula del volumen del cono, es tan simple hacer $a=0$, o lo que es lo mismo, $r=0$. Por lo que:

$$V_c=\dfrac 13 \pi R^2h$$

Que es la fórmula que conocemos.

Acepto cualquier sugerencia

Saludos,
Ángel Relativamente