Demostración de la fórmula del volumen del tronco de cono

[angel relativamente]

Si buscan en internet, o hacen memoria para recordar lo que en el primer ciclo de secundaria le enseñaron, recordarán que la fórmula del volumen del cono truncado es:

$$\displaystyle \boxed{V_{Ct}=\frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)}$$

Siendo:
$h$ = altura del tronco de cono
$R$ = radio de la base mayor
$r$ = radio de la base menor

A continuación, demostraremos la fórmula.

Un cono truncado recto (o tronco de cono recto) es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje.



Por tanto, el volumen del tronco de cono será igual a el volumen que ocuparía el cono total menos el volumen que ocupa el "cono menor" que debería de tener encima.

$$\dst V_{Ct} = V_{Ctotal}} - V_{Cmenor}$$

$$\displaystyle V_{Ct} = \left( \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^2 \cdot H\right) - \left[\frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot (H-h)\right]$$

$$\displaystyle V_{Ct} = \frac{1}{3} \pi [R^2H - r^2(H-h)]$$

Por semejanza, sabemos que:

$$\displaystyle \frac{R}{r} = \frac{H}{H-h}\quad \Rightarrow \quad \displaystyle H = \frac{R(H-h)}{r}\quad \Rightarrow \quad \displaystyle H= \frac {RH - Rh}{r}\quad \Rightarrow \quad \displaystyle Hr= RH - Rh \quad \Rightarrow$$

$$\displaystyle Hr - RH = -Rh\quad \Rightarrow \quad \displaystyle H(r-R) = -Rh \quad \Rightarrow \quad \displaystyle \boxed{ H=\frac {-Rh}{r-R}}$$

Una vez sabemos el valor de $H$, podemos sustituirlo en la ecuación (3):


Sustituimos:

$$\displaystyle V_{Ct} = \frac{1}{3} \pi \left[R^2\cdot \left(\frac {-Rh}{r-R}\right) - r^2\left(\frac {-Rh}{r-R}-h\right)\right]=\dfrac{1}{3} \pi \left[\left(\frac{-R^3h}{r-R}\right) - \left(\frac {-Rhr^2}{r-R} - hr^2\right)\right]$$

$$= \dfrac{1}{3} \pi \left[\left(\frac{-R^3h}{r-R}\right) + \left(\frac {Rhr^2}{r-R}\right) + hr^2\right]=\dfrac{1}{3} \pi \left(\dfrac{-R^3h + Rhr^2^}{r-R} + hr^2\right)$$

$$= \dfrac{1}{3} \pi \left[\dfrac{Rh(r^2-R^2)}{r-R} + hr^2\right]= \frac{1}{3}h \pi \left[\frac{R(r^2-R^2)}{r-R} + r^2\right]$$

$$= \frac{1}{3}h \pi \left[\frac{R(r-R)(r+R)}{r-R} + r^2\right]=\dfrac{1}{3} \pih [R(r+R) + r^2]=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h (R^2 + r^2 + Rr)$$

Por lo que:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{V_{Ct}=\frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)}}$$

QED
Se admiten quejas y sugerencias.
Hay una demostración más rigurosa, mediante integrales, que podéis encontrar a continuación:
-Demostración de la fórmula del volumen del tronco de cono (sólidos de revolución)


Saludos,
Ángel Relativamente

[Richard R Richard]

Si con $a_1$ y $a_2$ te refieres al áreas circulares de la base y tope

$V_{Ct}=\frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)=\frac{1}{3} h (\pi R^2 +\pi r^2 + \pi Rr)=$$\frac{1}{3} h (a_1 +a_2+ \sqrt{\pi}R\sqrt{\pi}r)=\frac{1}{3} h (a_1+a_2 + \sqrt{\pi R^2}\sqrt{\pi r^2})=\frac{1}{3} h (a_1 +a_2 + \sqrt{a_1\cdot a_2})$

Saludos $\mathbb R^3$

Como se muestra en la figura, un depósito cónico invertido tiene 14 metros de altura y el diámetro en la parte superior es de 6 m. Cuando el volumen en el deposito es de 18π m3, ¿cuál es la altura en metros del nivel del agua? Exprese su respuesta con dos cifras decimales.

[Richard R Richard]

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