Demostración de la derivada de la potencia y la raíz

[QED]

Como ya dijimos anteriormente, la definición de derivada es:

$$\displaystyle \boxed{f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\;\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$

Vamos a calcular la derivada de la función: $y(x)=x^n$

Aplicando la definición anterior, tenemos que:

$$\displaystyle f'(x)=\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\; \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}$$

El desarrollo de la serie $(x+\Delta x)^n$ es similar al de $(a+b)^n$ donde:

$$\displaystyle (a+b)^n=a^n + \frac{n}{1!}\cdot a^{n-1} \cdot b + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \cdots$$

Por tanto:

$$\displaystyle (x+\Delta x)^n=x^n + \frac{n}{1!}\cdot x^{n-1} \cdot \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot x^{n-2} \cdot (\Delta x)^2 + \cdots$$

Llevando esta expresión a la definición de derivada, obtenemos:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\left[{x^n + \frac{n}{1!}\cdot x^{n-1} \cdot \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot x^{n-2} \cdot (\Delta x)^2 + \cdots}\right]-x^n}{\Delta x}$$

Ahora bien, cuando $\Delta x$ es prácticamente cero, podemos considerar como nulos todos los términos $(\Delta x)^2$ , $(\Delta x)^3$ , etcétera, con lo que se obtiene:

$$\displaystyle f(x)= \lim_{\Delta x\to 0} \; \frac{n\cdot x^{x-1} \cdot \Delta x}{\Delta x}= n\cdot x^{n-1}$$

Es decir:

$$\boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=x^n\; , \; \text{entonces} \;\; \displaystyle f'(x)=n\cdot x^{n-1}}}$$

¿Qué ocurriría si en lugar de una potencia nos pidiesen la derivada de una raíz? ¡Muy sencillo!

$$f(x)=\dst \sqrt[n]{x} \Longrightarrow f'(x)=\dst \frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}$$

No parece tan sencillo, ¿cómo llegar a esta expresión?

$$y=\dst \sqrt[n]{x}=x^\left( {\dst \frac{1}{n}} \right)$$

Ahora hacemos la derivada de la potencia:

$$\dst y=\frac 1n \cdot x^{\left( {\dst \frac 1n -1} \right)}=\frac 1n \cdot x^\left( {\dst \frac{1-n}{n}} \right)}=\frac 1n \cdot \left[x^{ {\left( n-1 \right) }\right] ^{\left( \dst \frac {-1}{n} \right)} =\dst \frac {1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}$$

No merece la pena aprenderse esa fórmula tan poco agraciada en aspecto, pues siempre podemos convertir la raíz en potencia.

Cualquier tipo de sugerencia o duda, ¡comentad!

[angel relativamente]

Lo sé, por eso no me atreví a hacer una demostración de la raíz enésima a partir de la definición de derivada, y partí de las reglas de derivadas ya demostradas y las propiedades básicas de los exponentes. De todas formas me interesa mucho la demostración del binomio de Newton para exponentes no naturales, me pondré un día de estos si el tema no es excesivamente complicado.

[pod]

Lo sé, por eso no me atreví a hacer una demostración de la raíz enésima a partir de la definición de derivada, y partí de las reglas de derivadas ya demostradas y las propiedades básicas de los exponentes. De todas formas me interesa mucho la demostración del binomio de Newton para exponentes no naturales, me pondré un día de estos si el tema no es excesivamente complicado.

Es decir, das como conocida la derivada de la potencia. No obstante, al demostrar la derivada de la potencia has utilizado algo que sólo vale para potencias enteras... ¡Eso no te vale para una raíz! No tienes la derivada de la potencia general, sólo para enteros so far.

Para raíces probablemente lo más fácil sera recurrir a la derivada de la función inversa. Sea $f(x) = \sqrt{x}$, entonces $f^{-1}(x) = x^2$ y esta sí sabemos derivar.

Mediante la regla de la cadena, podemos usar los dos resultados para demostrar la derivada de una potencia racional, $f(x) = x^{m/n} = (x^m)^{1/n}$. Esto es lo más general que se puede hacer de forma sencilla. Yo te recomendaría que pusieras estas tres demostraciones.

Ahora no tengo en la cabeza cómo se hace la demostración para una potencia irracional... si es que la he conocido alguna vez . Seguro que la puedes encontrar en algún lado.

Gracias por tu comentario, me has hecho ver que estaba mal metido el corchete. Modificado. La regla es $\left(a^b\right)^c=a^{bc}$.

Saludos,

Gracias por la aclaración...