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Demostraciones

Demostración de la derivada de la potencia y la raíz

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Como ya dijimos anteriormente, la definición de derivada es:

\displaystyle \boxed{f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\;\frac{f(x+\Delta  x)-f(x)}{\Delta x}}

Vamos a calcular la derivada de la función: y(x)=x^n

Aplicando la definición anterior, tenemos que:

\displaystyle f'(x)=\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\;  \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}

El desarrollo de la serie (x+\Delta x)^n es similar al de (a+b)^n donde:

\displaystyle (a+b)^n=a^n + \frac{n}{1!}\cdot a^{n-1} \cdot b +  \frac{n(n-1)}{2!} \cdot a^{n-2} ...

Por tanto:


\displaystyle (x+\Delta x)^n=x^n + \frac{n}{1!}\cdot x^{n-1}  \cdot \Delta x +  \frac{n(n-1)}{2!}...

Llevando esta expresión a la definición de derivada, obtenemos:


\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\left[{x^n +  \frac{n}{1!}\cdot x^{n-1} \cdot \...

Ahora bien, cuando \Delta x es prácticamente cero, podemos considerar como nulos todos los términos (\Delta x)^2 , (\Delta x)^3 , etcétera, con lo que se obtiene:

\displaystyle f(x)= \lim_{\Delta x\to 0} \; \frac{n\cdot x^{x-1}  \cdot \Delta x}{\Delta x}= n\cd...

Es decir:

\boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=x^n\; , \; \text{entonces} \;\;  \displaystyle f'(x)=n\cdot x^{n-1}}}


¿Qué ocurriría si en lugar de una potencia nos pidiesen la derivada de una raíz? ¡Muy sencillo!

f(x)=\dst \sqrt[n]{x} \Longrightarrow f'(x)=\dst \frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}

No parece tan sencillo, ¿cómo llegar a esta expresión?

y=\dst \sqrt[n]{x}=x^\left( {\dst \frac{1}{n}} \right)

Ahora hacemos la derivada de la potencia:

\dst y=\frac 1n \cdot x^{\left( {\dst \frac 1n  -1} \right)}=\frac 1n \cdot x^\left( {\dst \frac{...

No merece la pena aprenderse esa fórmula tan poco agraciada en aspecto, pues siempre podemos convertir la raíz en potencia.

Cualquier tipo de sugerencia o duda, ¡comentad!

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Actualizado 10/09/2012 a las 01:03:26 por angel relativamente

Categorías
Matemáticas , Cálculo

Comentarios

  1. Avatar de el monstruo del doctor frankenstein
    Parece que está todo en orden.

    Un par de cosillas:

    (1) Notación: generalmente el cociente incremental en (1) se escribe como f ( x + "incremento de x") - f (x ) / "incremento de x"

    (2) En los desarrollos (3) y (4) (o en cualquier desarrollo de ese tipo), conviene escribir explícitamente los términos primero y segundo, luego puntos suspensivos y finalmente el último término o incluso el penúltimo y el último).

    (3) No olvides que en la ecuación (6) puedes simplificar el "incrementeo de x" porque por la definición de límite, precisamente, "incremento de x" toma valores tan cerca como queramos a cero pero NUNCA cero.
  2. Avatar de angel relativamente
    (1) Corregido
    (2) Así es, pero por desgracia me queda tan grande que me sale error de LaTeX. Para el lector más ávido, que intente pensar él cuáles son los últimos términos de la sucesión.
    (3) Por esa misma razón digo:

    Ahora bien, cuando \Delta x es prácticamente cero
    Gracias por comentar
    Actualizado 07/07/2011 a las 05:05:54 por angel relativamente
  3. Avatar de No registrado
    Le Felicito ampliamente Por éste maravilloso espacio de conocimiento y su ánimo por compartirlos

    Disculpe mi ignorancia, pero me podrías explicar un poco mas detallado como se llega a la fórmula para la derivada de una raíz enésima

    http://forum.lawebdefisica.com/vlatex/pics/265_a8321abc00e52da29ef48de8640c8bce.png

    En Partícular en el manejo de los exponentes, como se llega de {x}^{ 1-n)/n} a la expresión {x}^{ (n-1)}{}^{ (-1/n)}De antemano, Gracias...
  4. Avatar de angel relativamente
    Gracias por tu comentario, me has hecho ver que estaba mal metido el corchete. Modificado. La regla es \left(a^b\right)^c=a^{bc}.

    Saludos,
  5. Avatar de pod
    Ahora bien, el desarrollo del binomio de Newton sólo es válido cuando el exponente es natural... Es necesario hacer una demostración diferente si es racional (como 1/n) o si es irracional.
  6. Avatar de angel relativamente
    Lo sé, por eso no me atreví a hacer una demostración de la raíz enésima a partir de la definición de derivada, y partí de las reglas de derivadas ya demostradas y las propiedades básicas de los exponentes. De todas formas me interesa mucho la demostración del binomio de Newton para exponentes no naturales, me pondré un día de estos si el tema no es excesivamente complicado.
  7. Avatar de pod
    Cita Escrito por angel relativamente
    Lo sé, por eso no me atreví a hacer una demostración de la raíz enésima a partir de la definición de derivada, y partí de las reglas de derivadas ya demostradas y las propiedades básicas de los exponentes. De todas formas me interesa mucho la demostración del binomio de Newton para exponentes no naturales, me pondré un día de estos si el tema no es excesivamente complicado.
    Es decir, das como conocida la derivada de la potencia. No obstante, al demostrar la derivada de la potencia has utilizado algo que sólo vale para potencias enteras... ¡Eso no te vale para una raíz! No tienes la derivada de la potencia general, sólo para enteros so far.

    Para raíces probablemente lo más fácil sera recurrir a la derivada de la función inversa. Sea f(x) = \sqrt{x}, entonces f^{-1}(x) = x^2 y esta sí sabemos derivar.

    Mediante la regla de la cadena, podemos usar los dos resultados para demostrar la derivada de una potencia racional, f(x) = x^{m/n} = (x^m)^{1/n}. Esto es lo más general que se puede hacer de forma sencilla. Yo te recomendaría que pusieras estas tres demostraciones.

    Ahora no tengo en la cabeza cómo se hace la demostración para una potencia irracional... si es que la he conocido alguna vez . Seguro que la puedes encontrar en algún lado.
  8. Avatar de No registrado
    [QUOTE=angel relativamente;bt2101]Gracias por tu comentario, me has hecho ver que estaba mal metido el corchete. Modificado. La regla es [tex]\left(a^b\right)^c=a^{bc}[/tex].

    Saludos,[/QUOTE]

    Gracias por la aclaración...

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