Derivadas Funciones Trigonométricas II

[Cris]

[FONT=Book Antiqua]Hola![/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Pues acá nos encontramos nueva vez para continuar con las demostraciones de las derivadas de funciones trigonométricas, las cuales ya habiamos iniciado en [/FONT][FONT=Book Antiqua]este blog [/FONT][FONT=Book Antiqua], con las derivadas del SENO y del COSENO.[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]En esta ocasión trabajaremos con las derivadas de las funciones TANGENTE y COTANGENTE.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Primero recordemos algunas indentidades trigonométricas:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]a) $\displaystyle \tan{x}=\frac{\sin{x}}{ \cos{x}}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]b) $\displaystyle \cot{x}=\frac{\cos{x}}{ \sin{x}}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]c) $\dst{\sec x=\frac{1}{\cos{x} }}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]d) $\dst{\csc x=\frac{1}{ \sin{x}}}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]e) $\dst{\sin^2{x}+\cos^2{x}=1}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]f) $\dst{\tan^2{x}+1=\sec^2 x}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]g) $\dst{1+\cot^2{x}=\csc^2 x}$[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]h) $\dst{\tan(a+b)=\frac{\tan{a}+\tan{b}}{1-\tan{a} \cdot\tan{b}}}$[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]i) $\dst{\cot(a+b)=\frac{1-\tan{a} \cdot\tan {b}}{\tan{a}+\tan{b}}}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Visto esto, empezaremos demostrando las derivada de la TANGENTE:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Comencemos planteándonos la definición de límite para esta función:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\tan(x+h)-\tan{x}}{ h}$$

[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Desarrollamos la Tangente del ángulo doble (inciso h)[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\dst{\frac{\tan{x}+\tan{h}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}}-\tan{x}}{ h}$$

[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Separemos en dos fracciones el término $\left(\displaystyle \frac{\tan{x}+\tan{h}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}\right)$[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{\tan{x}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+\frac{\tan{h}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}-\tan{x}}{ h}$$

[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Tomando factor común $\displaystyle \left(-\tan x\right)$[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{-\tan x\left(-\frac{1}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+1\right) + \frac{\tan h}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}}{ h}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Adicionemos las fracciones $\left(-\frac{1}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+1\right)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Se convierte en:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{-\tan x\left(\frac{-\tan x\cdot \tan h}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}\right) + \frac{\tan h}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}}{ h}$$

[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Sabiendo que $\displaystyle\frac{\displaystyle a / b}{\displaystyle c / d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\left(-\tan x\left(\frac{-\tan x\cdot \tan h}{h(1-\tan{x} \cdot\tan{h})}\right) + \frac{\tan h}{h(1-\tan{x} \cdot\tan{h})}\right)$$

[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Reescribamos esto para manipularlo mejor:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\tan x)=\lim_{x \to 0}\left(\tan^2 x\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos h}\cdot\frac{1}{1-\tan x\tan h}+\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos h}\cdot\frac{1}{1-\tan x\tan h}\right)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Aplicando las propiedades de los límites:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\tan x)=\tan^2 x\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1}{\cos h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1}{1-\tan x\tan h}}^1+\ldots$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]$\displaystyle\ldots\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{1}{1-\tan x\tan h}}^1\right)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Esto se reduce a:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\tan x)=\tan^2 x\cdot (1)\cdot (1)\cdot(1)+(1)\cdot(1)\cdot (1)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\tan x)=\tan^2 x+1$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Sustituyendo la indetidad del inciso f):[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{f'(\tan x)=\sec^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Prosigamos con la demostración de la derivada de la COTANGENTE:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]La definición de límite para esta función es:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{\cot(x+h)-\cot{x}}{ h}$$

[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Desarrollamos la cotangente del ángulo doble (inciso i)[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\cot x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}{\tan x+\tan{h}}-\cot {x}}{ h}$$

[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]Hagamos dos fracciones del término $\displaystyle\left( \frac{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}{\tan x+\tan{h}}\right)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\cot{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{\tan{x} +\tan{h}}-\frac{\tan x\cdot \tan{h}}{\tan{x} +\tan{h}}-\cot{x}}{ h}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Reordenando: [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{\left(\frac{1}{\tan x +\tan h}-\cot x \right)-\frac{\tan x\cdot \tan h}{\tan x +\tan h}}{h}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Sumando las fracciones $\left(\frac{1}{\tan{x} +\tan{h}}-\cot{x}\right)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Nos queda:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{-\frac{\cot x \cdot \tan x}{\tan x +\tan h}-\frac{\tan x\cdot \tan h}{\tan x +\tan h}}{h}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Acomodamos:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\left(-\frac{\cot x \cdot \tan x}{h(\tan x +\tan h)}-\frac{\tan x\cdot \tan h}{h(\tan x +\tan h)}\right)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Reescribamos :[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\left(-\cot x\frac{\sin h}{h}\frac{1}{\cos h}\frac{1}{\tan x+\tan h}-\tan x\frac{\sin h}{h}\frac{1}{\cos h}\frac{1}{\tan x+\tan h}\right)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Propiedades de los límites:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle f'(\cot x)=-\cot x\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1}{\cos h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{1}{\tan x+\tan h}}^{\dst{\frac{1}{\tan x}}}-\ldots$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]$\displaystyle\ldots\tan x \cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{1}{\tan x+\tan h}}^{\dst{\frac{1}{\tan x}}}\right)$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Nos queda:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\cot x)=-\cot x\cdot(1)\cdot (1)\cdot \frac{1}{\tan x}-\tan x \cdot(1)\cdot (1)\cdot \frac{1}{\tan x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\cot x)=-\cot^2 x-1$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\cot x)=-\left(\cot^2 x+1\right)$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Sustituyendo la indetidad del inciso g):[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{f'(\cot x)=-\csc^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Esperen!! aun no terminamos...Podemos demostrar estas derivadas de manera mas sencilla . Para ello utilizaremos la regla de la derivada de un cociente, la cual está demostrada en [/FONT][FONT=Book Antiqua]este blog[/FONT][FONT=Book Antiqua]. Del cual tomaremos prestado esto:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Comencemos con la Tangente:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\tan x)=f'\left(\frac{\sin x}{\cos x }\right)=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot-\sin x }{\cos ^2 x }$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Operacionando:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\tan x)=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{ \cos^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Retomando la indentidad del inciso e) y c)[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\tan x)=\frac {1}{ \cos^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{f'(\tan x)=\sec^2 x}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Ahora tomemos la Cotangente:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\cot x)=f'\left(\frac{\cos x}{\sin x }\right)=\frac{-\sin x \cdot \sin x-\cos x\cdot \cos x }{\sin ^2 x }$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Simplifiquemos,[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\cot x)=\frac{-\sin ^2 x-\cos ^2 x}{ \sin ^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Por conveniencia:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\cot x)=\frac{-\left( \sin ^2 x+\cos ^2 x\right)}{ \sin ^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$f'(\cot x)=-\frac {1}{ \sin^2 x}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{f'(\cot x)=-\csc^2 x}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]EN GENERAL:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]

$$\boxed{\boxed{f'(\tan u)=u'\sec^2 u}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{f'(\cot u)=-u' \csc^2 u}}}$$

[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]$\dst {\mathbr{L.Q.Q.D.}}$[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Y así nos damos cuenta que hay varios caminos para llegar a un mismo destino, algunos complejos pero elegantes y otras simplones pero ágiles.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Espero os halla gustado.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Saludos[/FONT]

[Cris]

Hey Angel!

Gracias por la revisión, lo he corregido.

El tercer artículo está casi listo...

[Stormkalt]

Hola Cris.

Muy buen y esmerado trabajo.
¡Saludos!

[Cris]

Gracias por leerme Stormkalt!

Es bueno saber que alguien se detiene a leer esto!