Demostración de la derivada de una constante y de la función identidad

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Saludos de nuevo Usuarios de la Web. En este artículo vamos a demostrar la expresión de la derivada de una constante.

Sabemos que la derivada de una constante es 0. Es decir:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=K \Longrightarrow f'(x)=0\;\;\;\;\; K\in \mathbb{R}}}$$

Procedamos a demostrarlo:

En esta demostración usaremos la definición de derivada, la cual sabemos:

$$\displaystyle \boxed{f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$$

Sustituyamos $\dst f(x)=K$ en la definición de derivada, tenemos que:

El primer término $f(x+\Delta x)$ es igual a K, ya que, al ser una constante, en cualquier punto del eje X su imagen siempre va a valer lo mismo.

El segundo término $f(x)$ , evidentemente, también vale K. Por tanto:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\overbrace{f(x+\Delta x)}^{K} - \overbrace{f(x)}^{K}}{\Delta x}$$

Es decir:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{K-K}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{0}{\Delta x}=0$$

Queda demostrado entonces que:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=K \Longrightarrow f'(x)=0\;\;\;\;\; K\in \mathbb{R}}}$$

Procedamos a demostrar la derivada de la variable independiente x. Sabemos que la derivada de x es 1. Matemáticamente hablando:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=x \Longrightarrow f'(x)=1}}$$

En principio podría tomarse como la derivada de una potencia, ya que:

$$<br /> f(x)=x=x^1$$

Aplicando la derivada de una potencia :

$$f'(x)=1\cdot x^0 = 1 \cdot 1 =1$$

Pero vamos a demostrarlo por medio del límite. Demuestro la derivada de este caso en concreto de una potencial debido a que es muy frecuente su uso y jamás se emplea la fórmula de la potencia de forma directa.


El resultado de $f(x)$ coincide con lo que hay dentro del paréntesis. Por lo tanto, podemos decir que:

$$f(x+\Delta x)=x+\Delta x$$

Sustituiremos $\dst f(x)=x$ en ( 2 ), es decir, en la definición de derivada. Por tanto:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{x+\Delta x - x}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\Delta x}{\Delta x}=1$$

Queda demostrado así que:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=x \Longrightarrow f'(x)=1}}$$

Saludos, espero que se haya entendido

[emmanemm]

muchísimas gracias!, estuvo perfectamente explicado! saludos!

[angel relativamente]

Me alegra que te haya sido útil.
Un saludo emmanemm