Demostración de la derivada de la función logarítmica

[QED]

Hola amigos de la web de física, hoy vamos a demostrar la derivada de la función logarítmica. Para ello utilizaremos la definición de derivada, como sabemos:

$$\displaystyle \boxed{y'= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$$

La derivada del logaritmo dice:

$$\dst \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=\log_a u \Longrightarrow f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln a} \cdot u'}}$$

Siendo $u$ una función. Para simplificar los cálculos, pondremos que $u=x$ , así no es necesario estar multiplicando por $u'$ puesto que la derivada de la variable independiente x es 1: $\; \; x'=1$ . Tenemos que:

$$\dst \text{Si}\; f(x)=\log_a x \Longrightarrow f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln a}$$

Bien, comencemos. Si $f(x)=\log_a x$ , sustituyendo en la definición de derivada nos queda:

$$\displaystyle y'= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{\log_a(x+\Delta x) - \log_a x}{\Delta x}$$

Una de las propiedades de los logaritmos dice:

El logaritmo de un cociente es igual a el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Matemáticamente:

$\dst \log_a \left( \frac PQ \right)=\log_a P - \log_a Q$

Si aplicamos esta regla a la inversa en (3) :

$$\displaystyle y'= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{\dst \log_a\left( \frac{x+\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}$$

Ahora, si hacemos que: $\dst \frac{x+\Delta x}{x}=\frac xx + \frac {\Delta x}{x} = 1+\frac{\Delta x}{x}$ ,sustituyéndolo en la ecuación (4) nos queda:

$$\displaystyle y'= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{\dst \log_a \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right) }{\Delta x}$$

Si multiplicamos el denominador por $\dst \;\frac xx$ no modificamos la expresión puesto que estamos multiplicando por 1:

$$\displaystyle y'= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \frac{\dst \log_a \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right) }{\dst \frac{x\cdot \Delta x}{x}}$$

Reescribiendo:

$$\displaystyle y'= \lim_{ \Delta x\to 0}\; \left[ \dst \frac 1x \cdot \frac{x}{\Delta x} \cdot \dst \log_a \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right) \right]$$

Una de las propiedades de los límites, las cuales podemos encontrar en este blog, dice que:

$\dst \lim_{x \to c} k \cdot f(x) =k \cdot \lim_{x \to c} f(x)$

Aplicando eso en (7) :

$$\displaystyle y'=\dst \frac 1x \cdot \lim_{ \Delta x\to 0}\; \left[ \dst \frac{x}{\Delta x} \cdot \dst \log_a \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right) \right]$$

Otra de las propiedades del logaritmo es la del cambio de base. Dice así:

El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base. Matemáticamente:

$\dst \log_a P=\frac{\log_b P}{\log_b a}$

Si hacemos un cambio de base en (8) cambiando la base $a$ por $e$ , tenemos:

$$\displaystyle y'=\dst \frac 1x \cdot \lim_{ \Delta x\to 0}\; \left[ \frac{\dst \frac{x}{\Delta x} \cdot \dst \ln \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right)}{\ln a} \right]$$

Otra de las propiedades de los logaritmos es la del logaritmo de una potencia:

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia. Matemáticamente:

$\log_a \left( P \right)^n = n \cdot \log_a P$

Aplicando esa propiedad a la inversa en (9) :

$$\displaystyle y'=\dst \frac 1x \cdot \lim_{ \Delta x\to 0}\; \left[ \frac{ \dst \ln \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{\dst \frac{x}{\Delta x}}}{\ln a} \right]$$

Ahora, aplicaremos el límite de un cociente:

$$\displaystyle y'=\dst \frac 1x \cdot \frac{\dst \lim_{ \Delta x\to 0}\;\dst \ln \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{\dst \frac{x}{\Delta x}}}{\ln a}$$

La expresión $\dst \frac{\Delta x}{x}$ la podemos reescribir como: $\dst \frac{1}{\left( \dst \frac{x}{\Delta x} \right) }$ . Sustituimos en (11) :

$$\displaystyle y'=\dst \frac 1x \cdot \frac{\dst \lim_{ \Delta x\to 0}\;\dst \ln \left[ 1+\dst \frac{1}{\left( \dst \frac{x}{\Delta x} \right) } \right]^{\dst \frac{x}{\Delta x}}}{\ln a}$$

Ahora, aplicamos la propiedad del límite del logaritmo:

$$\dst \lim_{x \to c} \log_a P = \log_a \lim_{x \to c} P$$

Aplicamos esta propiedad en (12):

$$\displaystyle y'=\dst \frac 1x \cdot \frac{\dst \dst \ln \lim_{ \Delta x\to 0}\;\left[ 1+\dst \frac{1}{\left( \dst \frac{x}{\Delta x} \right) } \right]^{\dst \frac{x}{\Delta x}}}{\ln a}$$

Con la definición del número $e$ tenemos:

$$\dst e=\lim_{n \to \infty} \left( \dst 1+\frac 1n \right)^n = \lim_{n \to 0} \left[ 1+\frac{1}{\left( \dst \frac{h}{n} \right) } \right]^{\left( \dst \frac{h}{n} \right) } \; \; \text{ya que:} \;\;\lim_{n \to 0} \frac{h}{n}=\infty$$

¡Y eso es precisamente lo que tenemos en (13)!

$$\lim_{ \Delta x\to 0}\;\left[ 1+\dst \frac{1}{\left( \dst \frac{x}{\Delta x} \right) } \right]^{\dst \frac{x}{\Delta x}}=e$$

Sutituyendo (14) en (13):

$$\displaystyle y'=\dst \frac 1x \cdot \frac{\dst \dst \ln e}{\ln a}$$

Y como $\dst \ln e=1$ , entonces queda demostrado que:

$$\boxed{\dst \text{Si}\; f(x)=\log_a x \Longrightarrow f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln a}}$$

Que generalizando para el logaritmo de una función $u$ , con la regla de la cadena nos queda:

$$\dst \boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=\log_a u \Longrightarrow f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln a} \cdot u'}}$$

Nótese que en el caso de que nos pidan la derivada de $\dst f(x)=\ln x$ , nos sale:

$$\dst f'(x)=\frac{1}{x\cdot \ln e} = \frac 1 x$$

Espero haber sido claro y no haber cometido errores. Cualquier duda o sugerencia, no duden en comentar. ¡Saludos!

[Cris]

Excelente demostración, muy buenos detalles!

[juankorku55]

muy buen blog, de los mejores que he visto, en mi opinion este articulo se puede clasificar entre tus mejores demostraciones angel jejeje.

[natanael]

¡Excelente! la demostración, y gracias por especificar cada procedimiento, aunque yo soy aveces tan despistado, que te iba a preguntar como hiciste para considerar el factor $\dst \frac{1}{x}$ constante, como para ir del paso (7) al (8), lo que no había considerado, es que se hace tender a cero es el $\dst \Delta x$, por este tipo de cosas es que reprobé una vez un exámen .