La derivada del logaritmo dice:
Siendo una función. Para simplificar los cálculos, pondremos que , así no es necesario estar multiplicando por puesto que la derivada de la variable independiente x es 1: . Tenemos que:
Bien, comencemos. Si , sustituyendo en la definición de derivada nos queda:
Una de las propiedades de los logaritmos dice:
El logaritmo de un cociente es igual a el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Matemáticamente:
Ahora, si hacemos que: ,sustituyéndolo en la ecuación (4) nos queda:
Si multiplicamos el denominador por no modificamos la expresión puesto que estamos multiplicando por 1:
Reescribiendo:
Una de las propiedades de los límites, las cuales podemos encontrar en este blog, dice que:
Otra de las propiedades del logaritmo es la del cambio de base. Dice así:
El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base. Matemáticamente:
Otra de las propiedades de los logaritmos es la del logaritmo de una potencia:
El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia. Matemáticamente:
Ahora, aplicaremos el límite de un cociente:
La expresión la podemos reescribir como: . Sustituimos en (11) :
Ahora, aplicamos la propiedad del límite del logaritmo:
Con la definición del número tenemos:
Sutituyendo (14) en (13):
Y como , entonces queda demostrado que:
Que generalizando para el logaritmo de una función , con la regla de la cadena nos queda:
Nótese que en el caso de que nos pidan la derivada de , nos sale:
Espero haber sido claro y no haber cometido errores. Cualquier duda o sugerencia, no duden en comentar. ¡Saludos!