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Demostraciones

Demostración del término general y la sumatoria de los n primeros términos de una progresión aritmética

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Hola compañeros de La Web De Física, hoy me dispongo a demostraros un par de cosas. En primer lugar, cómo se calcula el término general de una progresión geométrica y aritmética, y en segundo lugar, cómo calcular la suma de los n primeros términos de cada una de estas progesiones. Empecemos por la aritmética. Se define progresión aritmética del siguiente modo:

Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de un mismo término al siguiente sumando un mismo número, d, al que se llama diferencia de la progresión.
Tenemos como ejemplo la sucesión:
1,3,5,7,9, \cdots
que como se puede comprobar son los números impares. Pero no tienen por qué ser enteros y naturales, perfectamente son válidas las sucesiones:

7,2,-3,-8,-13, \cdots
-11,-7,-3,1,5, \cdots
\dfrac{11}{7}, \dfrac{15}{14}, \dfrac{4}{7}, \dfrac{1}{14}, \dfrac{-3}{7}, \cdots

Sabiendo que se trata de una progresión aritmética, calcular su diferencia de la progresión (d) es bien sencillo. Cogemos un término de la sucesión (que no sea el primero), le restamos el inmediatamente anterior y listo. Así, podemos comprobar cuáles son las d de cada progresión anteriormente mencionada.
En la (1): d=3-1=2
En la (2): d=2-7=-5
En la (3): d=-7-\left( -11 \right)=4
Y por último, en la (4): d=\dfrac{15}{14}-\dfrac{11}{7}=-\dfrac 12

Estas progresiones simulan ser sencillas, y de hecho lo son. Pero, ¿ y si te pidiese calcular el término 500 de la sucesión (4)? Esto ya no resulta tan obvio, ¿tendría que calcular uno a uno todos los términos hasta llegar al 500? ¡Qué costosa labor! Hay una fórmula que nos da el termino n-ésimo y su demostración es bastante obvia.
El primer término de una progresión aritmética es:
a_1
El segundo término es:
a_2=a_1 +d
El tercer término es:
a_3=\dst \underbrace{a_2}_{a_1+d} +d=a_1+d+d=a_1+2d
El cuarto término es:
a_4=\dst \underbrace{a_3}_{a_1+2d}+d=a_1+3d
El quinto término es:
a_5= \dst \underbrace{a_4}_{a_1+3d}+d=a_1+4d

Como se puede ir observando, el n-ésimo término será:
\boxed{a_n=a_1+(n-1)d}

Con esta fórmula podemos hallar el término general de cada sucesión. El término general de la sucesión (4) sería:

a_n=\dfrac{11}{7}+(n-1)\cdot \left( \dfrac{-1}{2} \right)\quad \Rightarrow \quad a_n=\dfrac{29-7n...

Compruébese que si n toma los valores 1,2,3,4 \;\text{y}\; 5 , los valores de a_1, a_2,a_3,a_4 \; \text{y}\; a_5 coinciden con los valores que figuran más arriba. Si quisiésemos calcular el término que ocupa el lugar 500, haríamos:

a_{500}=\dfrac{29-7\cdot 500}{14}=-\dfrac{3471}{14}

Bien, una vez justificada la fórmula del término general, vamos a demostrar cuál es la fórmula de la sumatoria de los n primeros números. Para comenzar, sería conveniente leerse [url="http://forum.lawebdefisica.com/entries/375-1-2-3-4-5-...-99-100-5050-.-el-mega-genio-Gauss"]este artículo del usuario Javier Murgas, donde cuenta una curiosa anécdota del mega-genio Gauss. Como dice Javier en su artículo:

\sum_{i = 1}^{n} a_i =\dst\frac{(a_1+a_n)n}{2}

Que, para simplificar terminología en la demostración, diremos que:

\boxed{S_n=\dst\frac{(a_1+a_n)n}{2}}\; , \quad  \text{donde}\quad S_n=\sum_{i = 1}^{n} a_i

¿Cómo podemos llegar hasta esta expresión? Procedamos con la demostración:

Sabemos que:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n

Que podemos cambiarle el orden a los sumandos y escribirla como:

S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots + a_3+a_2+a_1


Si sumamos ambas expresiones tendremos una equivalente:

\displaystyle \begin{matrix} 
& S_n & = & +a_1 & +a_2 & + & \cdots & + & a_{n-1} & +a_n \\ 
+ & S...

Fíjense que:

(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})=(a_3+a_{n-2})= (\cdots)=(a_{n-2}+a_3)=(a_{n-1}+a_2)=(a_n + a_1)

Puesto que:

a_{n-1}=a_n-d \quad , \quad a_2=a_1+d
a_2+a_{n-1}=a_1+d+a_n-d=a_1+a_n

Análogamente, se prueban las demás.

Por tanto la expresión:

2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots +(a_{n-1}+a_2)+(a_n + a_1)

Podemos reescribirla del modo:

2S_n=\dst \underbrace{(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots +(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)}_{n}

Es decir:

2S_n=n\cdot (a_1+a_n) \quad \Longrightarrow \quad \boxed{S_n=\dfrac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}}

Queda demostrada nuestra expresión. Vamos a demostrarla ahora por otro procedimiento, el método de inducción completa. Para ello, primero comprobaremos si se cumple para n=1 :

S_1=\dfrac{1\cdot (a_1+a_1)}{2}=\dfrac{2a_1}{2}=a_1

Ahora supongamos que se cumple para cualquier valor de n (n \in \mathbb{N}) :

S_n=\dfrac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}

Entonces hemos de demostrar que se cumple para n+1 , es decir, hemos de demostrar que:

S_{n+1}=\dfrac{(n+1)\cdot (a_1+a_{n+1})}{2}

Procedamos con la demostración desarrollando el segundo miembro:

\boxed{\dfrac{(n+1)\cdot (a_1+a_{n+1})}{2}=}\dfrac{n\cdot a_1 +a_1+n\cdot a_{n+1}+a_{n+1}}{2}

Podemos escribir a_{n+1}=a_n+d

\dfrac{n\cdot a_1 +a_1+n\cdot (a_n+d)+a_{n+1}}{2}=\dfrac{n\cdot a_1 +a_1+n\cdot a_n+nd+a_{n+1}}{2}=

=\dfrac{n\cdot a_1 +n\cdot a_n}{2}+\dfrac{a_1+nd+a_{n+1}}{2}=\dst \underbrace{\dfrac{n\cdot (a_1 ...

Como puede verse, el primer sumando es S_n . En el segundo sumando nos aparece la expresión a_1+nd , que podemos reescribirla:

a_1+nd=a_1+nd-d+d=\dst \underbrace{a_1+(n-1)\cdot d}_{a_n} + d=a_n+d=a_{n+1}

Sustituimos:

S_n+\dfrac{a_{n+1}+a_{n+1}}{2}=S_n+\dfrac{2 \cdot a_{n+1}}{2}=S_n+a_{n+1}=\boxed{S_{n+1}}

Queda pues demostrado que siendo cierto para todo n, es también cierto para n+1, por tanto afirmaremos inequívocamente que:

\boxed{\boxed{\sum_{i = 1}^{n} a_i =\dst\frac{(a_1+a_n)n}{2}}}

Suena obvio que:

\dst \lim_{n \to +\infty}\sum_{i = 1}^{n} a_i=\pm\infty

Espero que hayan entendido la demostración. Si algo no se ha entendido, o bien tienes cualquier tipo de queja o sugerencia, escriba un comentario aquí o en su correspondiente tema del club demostraciones.

Véase también:
Demostración del término general y la sumatoria de los n primeros términos de una progresión geométrica (en construcción).

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Actualizado 02/08/2012 a las 00:41:48 por angel relativamente

Categorías
Matemáticas , Álgebra

Comentarios

  1. Avatar de Ulises7
    Qué recuerdos me trae ésto , cuando hacia 1º de bachillerato...

    Las dos demostraciones están bien y son claras, sólo quería comentar tres deslices que he visto:

    - En la sucesión número 4 el tercer término a_3 está mal, debería ser  \displaystyle 4/7. Por tanto los siguientes términos son incorrectos.
    - La fórmula general de la sucesión 4 no es ésa, en verdad es: \displaystyle \frac{29 - 7n}{14}, así que el resultado final no es ése.
    - Por último, en la demostración por inducción cuando pones n= 1, el resultado final no es 1 sino a_1.

    Creo que no me dejo nada,

    Saludos
    Actualizado 10/08/2011 a las 21:48:34 por Ulises7
  2. Avatar de angel relativamente
    ¡Gracias Ulises!

    - En la sucesión número 4 el tercer término está mal, debería ser 4/7. Por tanto los siguientes términos son incorrectos.
    Que tontería de fallo :P

    - La fórmula general de la sucesión 4 no es ésa, en verdad es: \displaystyle \frac{29 - 7n}{14}, así que el resultado final no es ése.
    Ese ya por si no me había lucido bastante con el anterior.

    - Por último, en la demostración por inducción cuando pones n= 1, el resultado final no es 1 sino a_1 .
    Claro, no sé por que narices había tomado a_1=1

    Creo que no me dejo nada,
    Eso espero. Ya los he corregido. Gracias de nuevo.
    ¡Saludos!

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