Demostración del término general y la sumatoria de los n primeros términos de una progresión aritmética

[QED]

Hola compañeros de La Web De Física, hoy me dispongo a demostraros un par de cosas. En primer lugar, cómo se calcula el término general de una progresión geométrica y aritmética, y en segundo lugar, cómo calcular la suma de los n primeros términos de cada una de estas progesiones. Empecemos por la aritmética. Se define progresión aritmética del siguiente modo:

Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de un mismo término al siguiente sumando un mismo número, d, al que se llama diferencia de la progresión.

Tenemos como ejemplo la sucesión:

$$1,3,5,7,9, \cdots$$

que como se puede comprobar son los números impares. Pero no tienen por qué ser enteros y naturales, perfectamente son válidas las sucesiones:

$$7,2,-3,-8,-13, \cdots$$

$$-11,-7,-3,1,5, \cdots$$

$$\dfrac{11}{7}, \dfrac{15}{14}, \dfrac{4}{7}, \dfrac{1}{14}, \dfrac{-3}{7}, \cdots$$

Sabiendo que se trata de una progresión aritmética, calcular su diferencia de la progresión (d) es bien sencillo. Cogemos un término de la sucesión (que no sea el primero), le restamos el inmediatamente anterior y listo. Así, podemos comprobar cuáles son las d de cada progresión anteriormente mencionada.
En la (1): $d=3-1=2$
En la (2): $d=2-7=-5$
En la (3): $d=-7-\left( -11 \right)=4$
Y por último, en la (4): $d=\dfrac{15}{14}-\dfrac{11}{7}=-\dfrac 12$

Estas progresiones simulan ser sencillas, y de hecho lo son. Pero, ¿ y si te pidiese calcular el término 500 de la sucesión (4)? Esto ya no resulta tan obvio, ¿tendría que calcular uno a uno todos los términos hasta llegar al 500? ¡Qué costosa labor! Hay una fórmula que nos da el termino n-ésimo y su demostración es bastante obvia.
El primer término de una progresión aritmética es:

$$a_1$$

El segundo término es:

$$a_2=a_1 +d$$

El tercer término es:

$$a_3=\dst \underbrace{a_2}_{a_1+d} +d=a_1+d+d=a_1+2d$$

El cuarto término es:

$$a_4=\dst \underbrace{a_3}_{a_1+2d}+d=a_1+3d$$

El quinto término es:

$$a_5= \dst \underbrace{a_4}_{a_1+3d}+d=a_1+4d$$

Como se puede ir observando, el n-ésimo término será:

$$\boxed{a_n=a_1+(n-1)d}$$

Con esta fórmula podemos hallar el término general de cada sucesión. El término general de la sucesión (4) sería:

$$a_n=\dfrac{11}{7}+(n-1)\cdot \left( \dfrac{-1}{2} \right)\quad \Rightarrow \quad a_n=\dfrac{29-7n}{14}$$

Compruébese que si n toma los valores $1,2,3,4 \;\text{y}\; 5$ , los valores de $a_1, a_2,a_3,a_4 \; \text{y}\; a_5$ coinciden con los valores que figuran más arriba. Si quisiésemos calcular el término que ocupa el lugar 500, haríamos:

$$a_{500}=\dfrac{29-7\cdot 500}{14}=-\dfrac{3471}{14}$$

Bien, una vez justificada la fórmula del término general, vamos a demostrar cuál es la fórmula de la sumatoria de los n primeros números. Para comenzar, sería conveniente leerse [url="http://forum.lawebdefisica.com/entries/375-1-2-3-4-5-...-99-100-5050-.-el-mega-genio-Gauss"]este artículo del usuario Javier Murgas, donde cuenta una curiosa anécdota del mega-genio Gauss. Como dice Javier en su artículo:

$$\sum_{i = 1}^{n} a_i =\dst\frac{(a_1+a_n)n}{2}$$

Que, para simplificar terminología en la demostración, diremos que:

$$\boxed{S_n=\dst\frac{(a_1+a_n)n}{2}}\; , \quad \text{donde}\quad S_n=\sum_{i = 1}^{n} a_i$$

¿Cómo podemos llegar hasta esta expresión? Procedamos con la demostración:

Sabemos que:

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$$

Que podemos cambiarle el orden a los sumandos y escribirla como:

$$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots + a_3+a_2+a_1$$

Si sumamos ambas expresiones tendremos una equivalente:

$$\displaystyle \begin{matrix}<br /> & S_n & = & +a_1 & +a_2 & + & \cdots & + & a_{n-1} & +a_n \\<br /> + & S_n & = & +a_n & +a_{n-1} & + & \cdots & + & a_2 & +a_1 \\ \hline<br /> & 2S_n & = & (a_1+a_n) & +(a_2+a_{n-1}) & + & \cdots & + & (a_{n-1}+a_2) & +(a_n + a_1)<br /> \end{matrix}$$

Fíjense que:

$$(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})=(a_3+a_{n-2})= (\cdots)=(a_{n-2}+a_3)=(a_{n-1}+a_2)=(a_n + a_1)$$

Puesto que:

$$a_{n-1}=a_n-d \quad , \quad a_2=a_1+d$$

$$a_2+a_{n-1}=a_1+d+a_n-d=a_1+a_n$$

Análogamente, se prueban las demás.

Por tanto la expresión:

$$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots +(a_{n-1}+a_2)+(a_n + a_1)$$

Podemos reescribirla del modo:

$$2S_n=\dst \underbrace{(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots +(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)}_{n}$$

Es decir:

$$2S_n=n\cdot (a_1+a_n) \quad \Longrightarrow \quad \boxed{S_n=\dfrac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}}$$

Queda demostrada nuestra expresión. Vamos a demostrarla ahora por otro procedimiento, el método de inducción completa. Para ello, primero comprobaremos si se cumple para $n=1$ :

$$S_1=\dfrac{1\cdot (a_1+a_1)}{2}=\dfrac{2a_1}{2}=a_1$$

Ahora supongamos que se cumple para cualquier valor de n $(n \in \mathbb{N})$ :

$$S_n=\dfrac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}$$

Entonces hemos de demostrar que se cumple para $n+1$ , es decir, hemos de demostrar que:

$$S_{n+1}=\dfrac{(n+1)\cdot (a_1+a_{n+1})}{2}$$

Procedamos con la demostración desarrollando el segundo miembro:

$$\boxed{\dfrac{(n+1)\cdot (a_1+a_{n+1})}{2}=}\dfrac{n\cdot a_1 +a_1+n\cdot a_{n+1}+a_{n+1}}{2}$$

Podemos escribir $a_{n+1}=a_n+d$

$$\dfrac{n\cdot a_1 +a_1+n\cdot (a_n+d)+a_{n+1}}{2}=\dfrac{n\cdot a_1 +a_1+n\cdot a_n+nd+a_{n+1}}{2}=$$

$$=\dfrac{n\cdot a_1 +n\cdot a_n}{2}+\dfrac{a_1+nd+a_{n+1}}{2}=\dst \underbrace{\dfrac{n\cdot (a_1 + a_n)}{2}}_{S_n}+\dfrac{a_1+nd+a_{n+1}}{2}$$

Como puede verse, el primer sumando es $S_n$ . En el segundo sumando nos aparece la expresión $a_1+nd$ , que podemos reescribirla:

$$a_1+nd=a_1+nd-d+d=\dst \underbrace{a_1+(n-1)\cdot d}_{a_n} + d=a_n+d=a_{n+1}$$

Sustituimos:

$$S_n+\dfrac{a_{n+1}+a_{n+1}}{2}=S_n+\dfrac{2 \cdot a_{n+1}}{2}=S_n+a_{n+1}=\boxed{S_{n+1}}$$

Queda pues demostrado que siendo cierto para todo n, es también cierto para n+1, por tanto afirmaremos inequívocamente que:

$$\boxed{\boxed{\sum_{i = 1}^{n} a_i =\dst\frac{(a_1+a_n)n}{2}}}$$

Suena obvio que:

$$\dst \lim_{n \to +\infty}\sum_{i = 1}^{n} a_i=\pm\infty$$

Espero que hayan entendido la demostración. Si algo no se ha entendido, o bien tienes cualquier tipo de queja o sugerencia, escriba un comentario aquí o en su correspondiente tema del club demostraciones.

Véase también:
Demostración del término general y la sumatoria de los n primeros términos de una progresión geométrica (en construcción).

[Ulises7]

Qué recuerdos me trae ésto , cuando hacia 1º de bachillerato...

Las dos demostraciones están bien y son claras, sólo quería comentar tres deslices que he visto:

- En la sucesión número 4 el tercer término $a_3$ está mal, debería ser $\displaystyle 4/7$. Por tanto los siguientes términos son incorrectos.
- La fórmula general de la sucesión 4 no es ésa, en verdad es: $\displaystyle \frac{29 - 7n}{14}$, así que el resultado final no es ése.
- Por último, en la demostración por inducción cuando pones n= 1, el resultado final no es 1 sino $a_1$.

Creo que no me dejo nada,

Saludos

[angel relativamente]

¡Gracias Ulises!

- En la sucesión número 4 el tercer término está mal, debería ser $4/7$. Por tanto los siguientes términos son incorrectos.

Que tontería de fallo :P

- La fórmula general de la sucesión 4 no es ésa, en verdad es: $\displaystyle \frac{29 - 7n}{14}$, así que el resultado final no es ése.

Ese ya por si no me había lucido bastante con el anterior.

- Por último, en la demostración por inducción cuando pones n= 1, el resultado final no es 1 sino $a_1$ .

Claro, no sé por que narices había tomado $a_1=1$

Creo que no me dejo nada,

Eso espero. Ya los he corregido. Gracias de nuevo.
¡Saludos!