Ver canal RSS

Demostraciones

Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos

Calificación: 3 votos, 5,00 de media.
A continuación demostraremos las identidades trigonométricas para el seno, conseno y tangente de la suma y resta de ángulos (en este orden).

Antes de nada, para poder entender algunas de las demostraciones debemos conocer la fórmula de Moivre. Esta es una fórmula que sirve para expresar un número complejo en forma binómica (partiendo de uno en forma polar por supuesto), y nos será de gran ayuda. Moivre dice que, sea un número complejo en forma polar z_\alpha:

(z_\alpha)^n=\left\vert{} z^n \right\vert{}  (cos(\alpha)+i sin(\alpha))^n=\left\vert{} z^n  \rig...

A parte también hay que conocer la identidad fundamental sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1 y otras relaciones básicas. Teniendo todo esto en cuenta podemos proceder con las demostraciones.


Suma de ángulos


sin(\alpha+\beta) y cos(\alpha+\beta)

Para demostrar el seno y el coseno de la suma de dos ángulos harémos uso de los números complejos. Para ello denotamos los dos siguientes:

z_1=1_\alpha
z_2=1_\beta

El producto de dos números complejos en forma polar se define como el producto de sus módulos sub la suma de sus argumentos. Asimismo:

z_1\cdot z_2=1_\alpha \cdot 1_\beta=1_{\alpha+\beta}

Si expresamos este número complejo en forma binómica mediante la fórmula de Moivre tenemos que:

1_{\alpha+\beta}=cos(\alpha+\beta)+i sin(\alpha+\beta)

De la misma forma podemos expresar ambos números z_1 y z_2 en su forma binómica y hacer dicho producto:

z_1=1_\alpha=cos(\alpha)+i sin(\alpha)
z_2=1_\beta=cos(\beta)+i sin(\beta)

El producto entonces seguiría como:

z_1 \cdot z_2=(cos(\alpha)+i sin(\alpha))(cos(\beta)+i sin(\beta))=
=cos(\alpha)cos(\beta)+i cos(\alpha)sin(\beta)+ i sin(\alpha)cos(\beta)-i^2 sin(\alpha)sin(\beta)

Nota que i^2=-1. Ahora si simplificamos y separamos parte real de imaginaria tenemos que:

z_1 \cdot z_2=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)+i(sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\...

Y, como definimos al principio:

z_1 \cdot z_2=1_{\alpha+\beta}=cos(\alpha+\beta)+i sin(\alpha+\beta)=
=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)+i (sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha))

Así que igualando estás dos identidades; la parte real con la real y la imaginaria con la imaginaria tenemos que:

\boxed{sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha)}

\boxed{cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)}

\underline{tan(\alpha+\beta)}


Como la tangente de un ángulo se define como el cociente entre el seno y el coseno de ese mismo ángulo, podemos decir que:

tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}

tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha)}{cos(\alpha)cos(...

Ahora dividimos, tanto el numerador como el denominador, por cos(\alpha)cos(\beta). Y se nos queda en lo siguiente:

\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{sin(\alpha)cos(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}\right)+...

\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}\right)+\left(\displaystyle\...

\boxed{tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{tan(\alpha)+tan(\beta)}{1-tan(\alpha)tan(\beta)}}

Resta de ángulos

sin(\alpha-\beta) y cos(\alpha-\beta)

Para demostrar estas dos identidades sólo tenemos que utilizar las identidades de la suma de ángulos del seno y conseno y veremos como los signos cambian solos:

sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha+(-\beta))=sin(\alpha)cos(-\beta)+sin(-\beta)cos(\alpha)

\boxed{sin(\alpha-\beta)sin(\alpha)cos(\beta)-sin(\beta)cos(\alpha)}

cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha+(-\beta))=cos(\alpha)cos(-\beta)-sin(\alpha)sin(-\beta)

\boxed{cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)}


\underline{tan(\alpha-\beta)}


Para hacer la tangente de la resta de dos ángulos hacemos lo mismo que hicimos con el seno y coseno; sustituimos en la ecuación de la suma de ángulos de la tangente:

tan(\alpha-\beta)=tan(\alpha+(-\beta))=\displaystyle\frac{tan(\alpha)+tan(-\beta)}{1-tan(\alpha)t...

\boxed{tan(\alpha-\beta)=\displaystyle\frac{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+tan(\alpha)tan(\beta)}}

Enviar "Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos" a del.icio.us Enviar "Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos" a Google Enviar "Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos" a Yahoo! Enviar "Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos" a Digg Enviar "Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos" a Diigo Enviar "Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos" a StumbleUpon Enviar "Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos" a Gennio Enviar "Identidades trigonométricas: suma y resta de ángulos" a Menéame

Actualizado 02/08/2012 a las 01:43:46 por angel relativamente

Categorías
Matemáticas , Geometría

Comentarios

Trackbacks

Trackbacks totales 0
URL de trackback: