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Antes de nada, para poder entender algunas de las demostraciones debemos conocer la fórmula de Moivre. Esta es una fórmula que sirve para expresar un número complejo en forma binómica (partiendo de uno en forma polar por supuesto), y nos será de gran ayuda. Moivre dice que, sea un número complejo en forma polar :
A parte también hay que conocer la identidad fundamental y otras relaciones básicas. Teniendo todo esto en cuenta podemos proceder con las demostraciones.
A parte también hay que conocer la identidad fundamental y otras relaciones básicas. Teniendo todo esto en cuenta podemos proceder con las demostraciones.
Suma de ángulos
y
Para demostrar el seno y el coseno de la suma de dos ángulos harémos uso de los números complejos. Para ello denotamos los dos siguientes:
El producto de dos números complejos en forma polar se define como el producto de sus módulos sub la suma de sus argumentos. Asimismo:
Si expresamos este número complejo en forma binómica mediante la fórmula de Moivre tenemos que:
De la misma forma podemos expresar ambos números y en su forma binómica y hacer dicho producto:
El producto entonces seguiría como:
Nota que . Ahora si simplificamos y separamos parte real de imaginaria tenemos que:
Y, como definimos al principio:
Así que igualando estás dos identidades; la parte real con la real y la imaginaria con la imaginaria tenemos que:
Como la tangente de un ángulo se define como el cociente entre el seno y el coseno de ese mismo ángulo, podemos decir que:
Ahora dividimos, tanto el numerador como el denominador, por . Y se nos queda en lo siguiente:
Resta de ángulos
y
Para demostrar estas dos identidades sólo tenemos que utilizar las identidades de la suma de ángulos del seno y conseno y veremos como los signos cambian solos:
Para hacer la tangente de la resta de dos ángulos hacemos lo mismo que hicimos con el seno y coseno; sustituimos en la ecuación de la suma de ángulos de la tangente: