El mundo donde todas las rectas se cortan

[Weip]

Este es mi primer blog y no sabía de qué hablar. De física se ha escrito mucho así que he tirado por las matemáticas que al fin y al cabo es en lo que estoy en mi día a día. ¿Y porqué no hablar del tema que tengo examen el lunes? Pues eso.

Voy a comentar cosillas de la geometría proyectiva. Presupondré conocimientos de álgebra lineal (espacios vectoriales, aplicaciones lineales y todo eso). Imaginaos que queremos pintar un cuadro del siguiente paisaje:

Esquemáticamente la base del dibujo sería la siguiente:

La recta horizontal es el horizonte y las otras rectas forman las vías del tren. Fijaos en un detalle: aunque en la realidad las rectas correspondientes a los raíles son paralelas, yo las he dibujado de forma que se cortan en el horizonte. En este blog quiero mostraros que en el plano proyectivo, todas las rectas se cortan.

Para ellos definiremos primero que entendemos por espacio proyectivo.

Definición 1: Sea $\mathbb{P}$ un conjunto, $K$ un cuerpo de característica dos, $E$ un $K$-espacio vectorial y $\pi:E - \left\{ \vec{0} \right\} \to \mathbb{P}$ una aplicación exhaustiva tal que si $\vec{u}, \vec{v} \in E - \left\{ \vec{0} \right\}$ con $\pi(\vec{u})=\pi(\vec{v})$ si y solo si $\vec{u}=\lambda \vec{v}$ con $\lambda \in K$. Decimos que la tripleta $(\mathbb{P}, E, \pi)$ es un espacio proyectivo (a veces abusaremos de la terminología y diremos que $\mathbb{P}$ es el espacio proyectivo). A los elementos de $\mathbb{P}$ los llamaremos puntos. Además llamaremos dimensión del espacio proyectivo a $\text{dim} \mathbb{P}=\text{dim} E -1$.

Intuitivamente es el espacio resultante de plasmar la información geométrica de un espacio en otro de una dimensión menos. En el ejemplo del cuadro, la realidad la "proyectamos" en el lienzo, que es el espacio proyectivo. Destacar que los puntos del espacio proyectivo se pueden escribir como $p=\pi(\vec{u})$, con $\vec{u} \in E-\left\{ \vec{0} \right\}$. Fijaos que por la definición de $\pi$, todos los puntos están determinados salvo múltiplo. Es decir, $(1,1,3)=(2,2,6)=...$. La notación que se usa habitualmente es $p=[p_0 : p_1 : p_2]$.

Después de todo este tocho pasemos a definir las rectas y los planos de nuestro espacio. Podéis pensar las variedades proyectivas como rectas y planos de toda la vida pero añadiendo un punto "en el infinito".

Definición 2: Un subconjunto $L$ de $\mathbb{P}$ es una variedad lineal si $L=\pi(F - \left\{ \vec{0} \right\} )$, siendo $F$ un subespacio vectorial. Además $\text{dim} L=\text{dim} F-1$

A las variedades lineales de dimensión cero las llamaremos puntos. A las de dimensión uno, rectas. A las de dimensión dos, planos. Y así hasta los hiperplanos y el espacio total.

Observación: Si escogemos $F=\left\{ \vec{0} \right\}$, fijaos que su variedad lineal asociada es el vacío. Su dimensión será $\text{dim} \left\{ \vec{0} \right\} -1= 0-1=-1$. Es interesante decirlo porque en nada nos meteremos en el tema de las dimensiones.

Definición 3: Sean $L_1$ y $L_2$ dos variedades lineales. $L_1+L_2$ es la variedad lineal más pequeña que contiene a $L_1 \cup L_2$. El subespacio vectorial asociado de $L_1+L_2$ es $F_1+F_2$.

Ahora vayamos al primer resultado central del artículo.

Teorema (Fórmula de Grassmann): Sean $L_1$ y $L_2$ dos variedades lineales. Se cumple:

$\text{dim}(L_1+L_2)=\text{dim}L_1+\text{dim} L_2-\text{dim}(L_1 \cap L_2)$

Demostración: Sean $F_1$ y $F_2$ los subespacios vectoriales asociados a $L_1$ y $L_2$ respectivamente. Por la Fórmula de Grassmann para espacios vectoriales:

$\text{dim}(F_1+F_2)=\text{dim}F_1+\text{dim}F_2-\text{dim}(F_1 \cap F_2)$

$\text{dim}(F_1+F_2)-1=(\text{dim}F_1-1)+(\text{dim}F_2-1)+(1-\text{dim}(F_1 \cap F_2))$

$\text{dim}(L_1+L_2)=\text{dim}L_1+\text{dim} L_2-\text{dim}(L_1 \cap L_2)$

Y finalmente el motivo por el que he escrito este blog:

Proposición: Una recta $r$ y un hiperplano $H$ proyectivos siempre se cortan.

Demostración: $\text{dim}\mathbb{P}\geqslant \text{dim}(r+H)=\text{dim}r+\text{dim}H-\text{dim}(r \cap H)=1+\text{dim}\mathbb{P}-1-\text{dim}(r\cap H)$. Así pues $\text{dim}(r\cap H) \geqslant 0$. Las dos variedades se cortan al menos en un punto.

En particular, en el plano dos rectas siempre se cortan.

Gracias por leerme, soy consciente de que ha quedado largo y espeso. En la próxima ocasión igual sigo con el tema.

[javier m]

Hola,

Qué quieres decir con "$dim \mathbb{P}$", acaso $\mathbb{P}$ es un espacio vectorial también? No lo veo de la definición.

Por cierto, de la fórmula de Grassmann para abajo, deberías usar más parentesis, es muy confuso sin ellos.

[Weip]

Hola,

Qué quieres decir con "$dim \mathbb{P}$", acaso $\mathbb{P}$ es un espacio vectorial también? No lo veo de la definición.

Por cierto, de la fórmula de Grassmann para abajo, deberías usar más parentesis, es muy confuso sin ellos.

No, $\mathbb{P}$ no es ningún espacio vectorial (en general). Lo de $\text{dim} \mathbb{P}$ lo imponemos nosotros para que cuadre con la definición de $\pi$, ya que esta aplicación coge vectores y los lleva a puntos. Por eso está en el apartado de definición 1 y no es una proposición a demostrar. He editado este punto con un par de aclaraciones de todas formas.

Lo de la fórmula ahora lo cambio. Yo siempre uso paréntesis pero en la facultad ningún profesor las usa así que por si acaso prefiero usar la notación que me han enseñado en clase. Pero vamos, que tienes razón, a mí también me dificulta la lectura.

Por último ¡gracias por leértelo!