En la entrada Misión imposible vimos como en su artículo de 1922 Sobre la curvatura del espacio, Aleksandr Fridman planteaba, por primera vez, la posibilidad de que el universo se expandiera. También recordábamos las peripecias de Yuriy Krútkov para convencer a Einstein de que estaba errado en sus críticas al trabajo de Fridman. Pero ¿cuáles eran esas críticas y por qué eran infundadas? Veamos:

Fridman publicó su artículo en una de las más prestigiosas revistas de física de inicios del siglo XX (Zeitschrift für Physik 10, 377-386, 1922) y, en el siguiente número de la revista (Zeitschrift für Physik 11, 326, 1922), Einstein publicó la siguiente nota:

Comentario al trabajo de A. Friedmann1
"Sobre la curvatura del espacio"
A. Einstein, Berlin
(Recibido el 18 de septiembre de 1922)

El trabajo citado contiene un resultado relativo a un universo no estacionario que me parece sospechoso. En efecto, esas soluciones no parecen ser compatibles con las ecuaciones de campo (A). De las ecuaciones de campo necesariamente resulta que la divergencia del tensor de materia Tik desaparece. Esto, junto con los supuestos (C) y (D3) llevan a la condición

que, junto con(8), implican que el radio del universo R es constante en el tiempo. La importancia del trabajo está, por lo tanto, en demostrar esta constancia.
Berlín, septiembre de 1922.
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1 ZS. f. Phys. 10, 377-386, 1922.

Como vimos en la entrada citada, Fridman le escribió una carta a Einstein para explicarle por qué consideraba que no existía el supuesto error que mencionaba en su nota. Durante varios años busqué sin éxito el texto completo de la carta, hasta que en un ya antiguo libro de la Academia de Ciencias de la URSS lo encontré en un artículo de Víctor Frenkel:

¡Muy respetado señor profesor!
De una carta de uno de mis amigos que se encuentra actualmente en el extranjero, tuve el honor de enterarme de que usted publicó en el undécimo tomo del Zeitschift für Physik una pequeña nota donde menciona que si se aceptan las soposiciones y de mi artículo Sobre la curvatura del espacio entonces, de las ecuaciones universales deducidas por usted, se podría concluir que el radio de curvatura del universo resulta un valor que no depende del tiempo. Usted obtuvo ese resultado utilizando el hecho de que una consecuencia necesaria de las ecuaciones universales es que el tensor de divergencia se vuelve cero.
De esta condición usted encontró la siguiente correlación:

Esta correlación implicaría, por supuesto, la constancia del radio de curvatura y, por tanto, que habría un error en los cálculos de mi artículo.

Sin embargo, no me fue posible deducir la correlación del supuesto de que el tensor de divergencia sea igual a cero y el resultado que obtuve no contradice la hipótesis de un universo no estacionario.

Teniendo en cuenta el interés que tiene el asunto de la posibilidad de la existencia de un universo no estacionario, me atrevo a presentarle aquí los cálculos del tensor de divergencia que realicé para su comprobación y valoración crítica.

Supongamos que es la componente del tensor contragradiente que representa la divergencia . Entonces, de acuerdo con la fórmula de la divergencia, nos resulta:


Nos interesa debido a que , y se vuelven cero, precisamente debido a que, en mi artículo, para un universo no estacionario, de la fórmula y con las condiciones , se obtiene:


Para obtenemos:


donde todas las (Con excepción de ) son iguales a cero, según las condiciones de mi artículo. Pero las condiciones definen para todos los excepto . De este modo, la fórmula anterior puede reescribirse como:


dado que (en nuestro caso, son iguales a los intervalos determinados por la fórmula ) y es igual a (o sea, ), entonces quedará representado por la siguiente fórmula:


Si hacemos igual a cero, como se desprende sus ecuaciones universales, entonces no obtenemos la correlación que usted señala en su artículo, sino que se obtiene la siguiente fórmula:


De esta forma, encontramos que no debe depender de . Dado que:



y , con base en la fórmula de mi artículo, se escribe de la siguiente forma:


obtenemos de esto:


o sea, efectivamente, no depende de , como se requiere.

¿Tendría usted la amabilidad, muy respetado profesor, de indicarme si los cálculos que presento en esta carta son correctos? Últimamente he investigado el caso de un universo con curvatura constante y variable (en el tiempo). En estas condiciones, por supuesto, para obtener el único universo real que representa interés fue necesario utilizar otra correlación para el intervalo que yo (de acuerdo con Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, Band I) expresé de la siguiente forma:


El resultado de los cálculos muestra que, en este caso, puede existir un universo con curvatura tanto constante (aunque, en este caso, negativa), como variable (en el tiempo). La posibilidad de obtener de sus ecuaciones universales un universo con curvatura negativa constante representa para mí un interés excepcional, por lo que encarecidamente le solicito a usted que responda a esta carta mía, aunque sé bien que usted es una persona muy ocupada.

En caso de que usted considere que los cálculos realizados en mi carta son correctos, le solicito no negarme informar sobre esto a la redacción del Zeitschift für Physik y, quizás, en este caso, usted podría publicar una rectificación a su planteamiento o permitir transcribir un extracto de esta carta mía.

Respetándolo sinceramente.

Suyo, A. Fridman
6 de diciembre de 1922, Petrogrado
Mis conocimientos de física no dan para tanto como para entender el razonamiento de Fridman, pero quizás la transcripción de la carta pueda servir de ayuda al alguien más avispado que yo.

N.B.: Las traducciones son mías y no son de los documentos originales, por lo que pueden haber errores de interpretación, aunque, espero, que no en las fórmulas.