La media derivada y el problema de Abel

[Weip]

El 30 de septiembre de 1695 l'Hôpital le preguntó por carta a Leibniz cuánto vale la media derivada de $x$. A simple vista la pregunta es un sinsentido puesto que uno puede derivar una vez, dos veces, tres veces... pero no 0,5 veces. Aunque nuestra intuicion nos dice que es imposible, la verdad es que se puede hacer. Para ello veamos qué pasa al derivar repetidas veces la función $f(x)=x^k$:

$\dst\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^k=kx^{k-1}$

$\dst\frac{\mathrm{d}^2} {\mathrm{d} x^2}x^k=k(k-1)x^{k-2}$

$\dst\frac{\mathrm{d}^3} {\mathrm{d} x^3}x^k=k(k-1)(k-2)x^{k-3}$

...

Se puede demostrar que en general:

$\dst\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} x^n}x^k=\dst\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}$

Usando la siguiente propiedad de la función gamma $\Gamma(n+1)=n!$ podemos escribir:

$\dst\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} x^n}x^k=\dst\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-n+1)}x^{k-n}$

Esta expresión nos da una generalización de la derivada usual para funciones de la forma $f(x)=x^k$. Si reemplezamos $n$ por $1/2$ podemos calcular la derivada por la que preguntaba l'Hôpital en su carta a Leibniz:

$\dst\frac{\mathrm{d}^{1/2}}{\mathrm{d} x^{1/2}}x=\dst\frac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2}+1)}x^{1-\frac{1}{2}}=\dst\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{1/2}=2 \sqrt{\dst\frac{x}{\pi}}$

Como curiosidad, el primero en llegar hasta aquí fue Euler. Esta es una generalización que tiene las propiedades esperadas. Por ejemplo se puede comprobar que:

$\dst\frac{\mathrm{d}^{1/2} }{\mathrm{d} x^{1/2}}\dst\frac{\mathrm{d}^{1/2} }{\mathrm{d} x^{1/2}}x=\dst\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} x}=1$

En general se define la derivada de Riemann-Liouville como:

$_aD^{\gamma} _x f(x)=\dst\frac{1}{\Gamma(n-\gamma)} \dst\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d}x^n } \dst\int^x _a (x-y)^{n-\gamma-1} f(y) \mathrm{d}y }$

Con $n\in \mathbb{Z}$ y $\gamma \in \mathbb{R}^+$ es el orden de la derivada de Riemann-Liouville de forma que $n=\lfloor \gamma \rfloor+1$. Si $\gamma<0$ entonces tenemos la definición de la integral de Riemann-Liouville con $n=\lceil \gamma \rceil +1$. Como tenemos una derivada y una integral en una sola definición a veces al operador $D$ se le llama diferintegral de Riemann-Liouville.

Todo esto podría ser un truco matemático sin más importancia pero en realidad se puede aplicar a la física y es muy util. Un ejemplo clásico es el problema de Abel, una generalización del problema de la tautócrona. Consideremos un cuerpo de masa $m$ deslizándose por una superfície sin rozamiento por acción de la gravedad. Dada la función de tiempo que tarda el cuerpo en descender por la pendiente hay que encontrar la ecuación de la curva que sigue el cuerpo. Es decir, lo mismo que en el problema de la tautócrona con la diferencia de que el tiempo de descenso depende de la altura inicial. Lo primero de todo es poner el cero donde el cuerpo se para una vez recorrida toda la curva. Así pues el cuerpo desciende desde una altura inicial $h$ con una velocidad $v$. Aplicando la conservación de la energía:

$\dst\frac{1}{2}mv^2=mg(h-y)$

$v^2=2g(h-y)$

$\dst\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=\sqrt{2g(h-y)}$

$dt=\dst\frac{1}{\sqrt{2g(h-y)}} \dst\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} y}} \mathrm{d}y$

Integrando ambos miembros de la igualdad podemos obtener el tiempo de descenso:

$t=\dst\frac{1}{\sqrt{2g}}\dst\int^h _0 \dst\frac{1}{\sqrt{h-y}}\dst\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} y}} \mathrm{d}y$

Abel se dio cuenta de que la anterior ecuación se puede reescribir en términos de la derivada de Riemann-Liouville. Podemos aplicar la definición tomando $a=0$, $\gamma=1/2$, $x=h$, $n=1$ y como función $s'(h)$:

$_0 D^{1/2}_h s'(h)}\Gamma\left(\dst\frac{1}{2}\right) =_0 D^{1}_h s'(h)}\sqrt{2g}t$

$_0 D^{-1/2}_h s'(h)}=\sqrt{\dst\frac{2gt^2}{\pi}}$

$s'(h)= _0D^{1/2}_h\sqrt{\dst\frac{2gt^2}{\pi}}$

Usamos la siguiente propiedad:

$\dst\frac{\mathrm{d}^{1/2} }{\mathrm{d}x^{1/2} }x^0=\dst\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(1/2)}x^{-1/2}=\sqrt{\dst\frac{1}{\pi x}$

Teniendo en cuenta que $1=h^0$:

$s'(h)=\sqrt{\dst\frac{2gt^2}{\pi^2}}h^{-1/2}$

Integrando en ambos miembros de la igualdad:

$s(h)-s(0)=2 \sqrt{\dst\frac{2gt^2}{\pi^2}}h^{1/2}$

Y como $s(0)=0$:

$s(h)=2 \sqrt{\dst\frac{2gt^2h}{\pi^2}}}$

Con esto queda concluído el problema. El tema de las derivadas e integrales fraccionales tiene muchas aplicaciones en física. Por ejemplo la mecánica de Newton se puede generalizar y describe los fenómenos clásicos (tiro parabólico, movimiento armónico simple...) a partir de casos particulares de ecuaciones con derivadas fraccionales.

[Weip]

Buen Articulo Weip nunca habia sentido hablar de media derivada.

Cuando dices que se puede aplicar al MAS , dices que la fraccion de derivada es aplicable a cualquier funcion ej Seno Coseno y no solo a las funciones $f(x)=x^k$ ?

Saludos

Gracias por leerlo. Lo de las funciones de la forma $f(x)=x^k$ lo he usado para motivar la definición general. Así pues esta derivada la puedes usar para las funciones habituales. Al ser una generalización cambiando el orden de la derivada puedes obtener como casos particulares la primera derivada, la segunda, la tercera... Finalmente había pensado en explicar el MAS pero es que es muy engorroso con cálculo fraccional y he preferido el problema de Abel que es más corto.

[alexpglez]

Muchas gracias Weip!! Un día anímate a demostrar la derivada de Riemann-Liouville xD. Cierto es que es muy interesante! el otro día vi el enlace siguiente https://en.wikipedia.org/wiki/Fracti...ntum_mechanics, sobre la ecuación fraccional de Schrödinger, aunque viene poco y no explica casi nada. Parece que tendré que estudiarlo a fondo el cálculo fraccional!

Por cierto, entiendo que $\gamma$, puede ser un número real positivo, negativo, complejo y por lo tanto una también función. ¿Pero también, podría ser un vector, matriz, operador lineal o un tensor de cualquier tipo?

[Weip]

¡Me alegro que te haya gustado! La construcción igual la hago en verano, ya veré, primero he de visualizar en mi cabeza cómo lo explico. $\gamma$, si la definición se extiende con los debidos detalles, puede ser real, complejo (por lo tanto un vector de dos componentes) pero lo demás ya no lo sé.

Gracias a tus preguntas creo que haré la parte 2. Pero tardaré.