Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

[Alriga]

La velocidad de un cuerpo de masa m, (satélite, planeta,...) que gira en torno a otro cuerpo primario de masa mucho mayor M en movimiento elíptico por influjo de la gravedad no es constante, sino variable a lo largo de la trayectoria orbital:

* la velocidad es máxima en el Periastro, (también llamado Periapsis o Periápside)

* mínima en el Apoastro, (o Apoapsis o Apoápside)

* y tiene una velocidad intermedia entre esos dos valores en los restantes puntos de la elipse.

El objetivo de este desarrollo es realizar la deducción de la expresión, (fórmula matemática), del valor del módulo de la velocidad instantánea v en cualquier punto de una órbita elíptica en función de la distancia r entre m y M. (m puede ser un planeta y M la estrella en torno a la que gira, por ejemplo, la Tierra y el Sol, o M puede ser la Tierra y m un satélite artificial,...)

Conservación de la energía: La energía mecánica total E en cualquier punto de la órbita es la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitatoria, y es constante, puesto que el campo gravitatorio es conservativo

$E=E_c+E_p=cte$

$E=\dfrac 12 m v^2-\dfrac{GMm}r$

Por supuesto, G es la constante de Gravitación Universal de Newton.

Definimos la energía orbital específica como la energía por unidad de masa en órbita:

$\varepsilon =\dfrac E m$

$$\varepsilon =\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r$$

La energía específica también es evidentemente constante en todos los puntos de la órbita y vamos a evaluarla en dos puntos particulares, el Periastro que es el punto de mínima distancia entre $m$ y $M$ y el Apoastro que es el punto en el que $m$ se halla a la máxima distancia de $M$:

En el Periastro o Periapsis. (Para los planetas, asteroides y cometas que giran en torno al Sol recibe el nombre particular de Perihelio, y para los satélites que giran en torno a la Tierra, el de Perigeo)

$$\varepsilon =\dfrac{v_p^2}2-\dfrac{GM}{r_p}$$

En el Apoastro o Apoapsis. (Nombre particular de Afelio para los objetos que giran en torno al Sol, y de Apogeo para los satélites que giran en torno a la Tierra)

$$\varepsilon =\dfrac{v_a^2}2-\dfrac{GM}{r_a}$$

Conservación del momento angular, (momento cinético)*: Por otro lado, en el sistema compuesto por los dos objetos M y m, al no existir momentos de fuerzas exteriores, también se conserva el momento angular, y por lo tanto en dos puntos arbitrarios cualquiera 1 y 2 de la órbita:

$\bold L=\bold{r_1} \times m \bold{v_1}=\bold{r_2} \times m \bold{v_2}$

Particularizando esta expresión para el Periapsis y el Apoapsis, que son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares:

$L=r_p \ m \ v_p \ \sin \dfrac{\pi}2 = r_a \ m \ v_a \ \sin \dfrac{\pi}2$

$$v_p=\dfrac{r_a}{r_p} \ v_a$$

A la expresión (3) le restamos la expresión (2)

$\dfrac{v_a^2}{2}-\dfrac{v_p^2}{2} = \dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}$

En esta última expresión sustituimos (4)

$\dfrac{v_a^2}2-\dfrac{r_a^2}{2 r_p^2}v_a^2=\dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}$

$\dfrac{v_a^2}2=\left( \dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}\right) \ \dfrac{r_p^2}{r_p^2-r_a^2}$

$\dfrac{v_a^2}2=GM \dfrac{r_p}{r_a (r_p+r_a)}$

Si a = semieje mayor de la elipse

$r_p+r_a=2 \ a$

$r_p=2 \ a-r_a$

$$\dfrac{v_a^2}2=GM \dfrac{2 a-r_a}{2 \ a \ r_a}$$

Sustituyendo (5) en (3)

$\varepsilon=GM \dfrac{2 a-r_a}{2 \ a \ r_a}-\dfrac{GM}{r_a}$

Luego la energía específica de un punto cualquiera de una órbita elíptica es

$$\boxed{\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}}$$

Y por lo tanto, el valor de la energía mecánica total en cualquier punto de una órbita elíptica es constante de valor

$\boxed{E=-\dfrac{G \ M \ m}{2 \ a}}$

Del mismo modo, sustituyendo (5) en la expresión del momento angular en el apoapsis, se obtiene el valor del momento angular de la órbita elíptica, que además del semieje mayor depende de la excentricidad:

$\boxed{L=m \ \sqrt{G \ M \ a \ (1-e^2)}}$

$e$ = excentricidad de la elipse

$r_a=a \ (1+e)$

$r_p=a \ (1-e)$

El valor del momento angular específico:

$$\boxed{h=\sqrt{G \ M \ a \ (1-e^2)}}$$

Finalmente, sustituyendo la ecuación (6) en la (1)

$\boxed{\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r=-\dfrac{G M}{2 a}}$

Y de esta última se despeja la velocidad

ELIPSE
$\boxed{v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{2 \ a} \right )}}$

Si se desea la expresión de la velocidad (ver dibujo) en función de la anomalía verdadera $\theta$ hay que recordar la relación en coordenadas polares entre el radio vector y el ángulo polar (o anomalía verdadera) que es:

$$r=\dfrac{a \ (1-e^2)}{1+e \cos \theta}$$

Sustituyendo:

$$v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left [ \dfrac{1+e \cos \theta}{a \ (1-e^2)} -\dfrac 1{2 \ a} \right ]}$$

La velocidad orbital es máxima en el Periastro, (punto de menor distancia entre ambos cuerpos), sustituyendo el radio vector $r$ por su valor

$r_p=a \ (1-e)$

Se obtiene para el periastro

$$v_p=\sqrt{\dfrac{G \ M}{a} \cdot \dfrac{1+e}{1-e}}$$

Y es mínima en el Apoastro, (punto de máxima distancia entre M y m), sustituyendo $r$ por su valor

$r_a=a \ (1+e)$

Se obtiene para el apoastro

$$v_a=\sqrt{\dfrac{G \ M}{a} \cdot \dfrac{1-e}{1+e}}$$

Casos particulares: órbitas circulares, parabólicas y caída libre vertical rectilínea.

1) La órbita circular es un caso particular de la elipse en el que el radio vector es siempre el radio $R$ de la circunferencia y por lo tanto constante

$r=a=R$

CIRCUNFERENCIA
$\boxed{v=\sqrt{\dfrac{G \ M}{R}}}$

2) Una órbita parabólica puede verse como el límite de una elíptica en la que el eje mayor se hace infinitamente grande, por lo tanto

$\dfrac 1{2 \ a} \rightarrow 0 \qquad \varepsilon=0 \qquad E=0$

PARABOLA
$\boxed{v=\sqrt{\dfrac{2 \ G \ M}{r}}}$

3) La caída libre en línea recta partiendo del reposo, desde una distancia inicial $r_0$ medida desde el centro de M al centro de m, se deduce trivialmente de la ecuación de conservación de la energía específica (1)

$\varepsilon =\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r=-\dfrac{GM}{r_0}$

CAÍDA EN LÍNEA RECTA
$\boxed{v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{r_0} \right )}}$

4) Y finalmente, se da sin demostración el caso de órbita hiperbólica, en el que la expresión es, (tomando a > 0):

HIPERBOLA
$\boxed{v=\sqrt{ G \ M \ \left ( \dfrac 2 r+\dfrac 1 a \right )}}$

La velocidad máxima se produce en el periastro $r_p$ y su expresión es:

$v_p=\sqrt{G \ M \cdot \dfrac{1+e}{r_p}}$

En donde "e" es la excentricidad de la hipérbola, relacionada con el semieje mayor "a" y el periastro mediante:

$r_p=a \ (e-1)$

ORBITA ELIPTICA: Componentes radial y perpendicular de la velocidad

A continuación se aporta sin demostración para el caso de órbita elíptica, las expresiones que proporcionan el cálculo de las componentes radial $v_r$ y transversal $v_\theta$ (desde el punto de vista del primario M) del vector velocidad del secundario en función de la anomalía verdadera:

$$\begin{aligned}<br /> v_r & =\sqrt{\dfrac{G M}{a(1-e^2)}} \ \ e \sin \theta \\<br /> v_{\theta} & =\sqrt{\dfrac{G M}{a(1-e^2)}} \ \ (1+e \cos \theta) \\<br /> \end{aligned}$$

* La conservación del momento angular no es más que la expresión de la “segunda ley de Kepler” o “ley de las áreas”, que dice que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.

Título en inglés: speed in an elliptical orbit, velocity in elliptical orbits.

Otros artículos del mismo autor en La web de Física

[Alriga]

Hola mcovas , bienvenido a La Web de Física y gracias por comentar. El signo negativo de la energía mecánica total de la órbita elíptica

$E=-\dfrac{G \ M \ m}{2 \ a}$

Es “herencia” del signo negativo de la definición de la energía potencial gravitatoria que se define negativa, mira https://forum.lawebdefisica.com/foru...961#post354961

El hecho de que esta energía mecánica total del caso elíptico sea negativa, significa que la energía potencial gravitatoria negativa “domina” a la energía cinética positiva y por ello el cuerpo orbitante no puede “escaparse” del cuerpo central, solo orbitar en torno a él.

Si la energía mecánica total fuese cero, o mayor que cero, la trayectoria ya no puede ser elíptica, sino parabólica (E=0) o hiperbólica (E>0) y el objeto m puede alejarse teóricamente a una distancia infinita de la masa central M

…si en un momento inicial tenemos una partícula a una distancia r0 y conseguimos que tenga una velocidad v0 perpendicular al radio vector estamos en un punto absidal, pero ¿cuál?... ¿Se puede predecir en función de la velocidad inicial?

Si esa velocidad inicial $v_0$ perpendicular al radio vector $r_0$ vale exactamente

$v_0=v_c=\sqrt{\dfrac{G \ M }{r_0}}$

Que llamaremos “velocidad circular” $v_c$ la órbita será circular

Si $v_0=0$ tenemos una caída en línea recta

Si $0 < v_0 < v_c$ estamos en el apoastro de una órbita elíptica

Llamemos "velocidad parabólica" (también llamada velocidad de escape) a:

$v_p=\sqrt{\dfrac{2 \ G \ M }{r_0}}$

Si $v_c < v_0 < v_p$ estamos en el periastro de una órbita elíptica

Si $v_0=v_p$ estamos en el vértice de una trayectoria parabólica

Si $v_0 > v_p$ estamos en el vértice de una trayectoria hiperbólica

Saludos.

[inakigarber]

Buenas tardes;

Supongo que te alegrara saber que este trabajo aparece mencionado en la wikipedia "https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kepler". Es una buena señal.

[Richard R Richard]

Yo había visto la cita también en https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita_el%C3%ADptica