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Alriga

Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

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La velocidad de un cuerpo de masa m, (satélite, planeta,...) que gira en torno a otro cuerpo de masa mucho mayor M en movimiento elíptico por influjo de la gravedad no es constante:

* es máxima en el Periastro,

* mínima en el Apoastro

* y tiene una velocidad intermedia entre esos dos valores en los restantes puntos de la elipse.

Nombre:  Elipse_Polares.png
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El objetivo de este desarrollo es realizar la deducción de la expresión del valor del módulo de la velocidad instantánea en cualquier punto de una órbita elíptica en función de la distancia r entre m y M. (m puede ser un planeta y M la estrella en torno a la que gira, por ejemplo, la Tierra y el Sol, o M puede ser la Tierra y m un satélite artificial,...)

Conservación de la energía: La energía mecánica total E en cualquier punto de la órbita es la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitatoria, y es constante, puesto que el campo gravitatorio es conservativo

E=E_c+E_p=cte

E=\dfrac 12 m v^2-\dfrac{GMm}r

Definimos la energía específica como la energía por unidad de masa en órbita:

\varepsilon =\dfrac E m

\varepsilon =\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r

La energía específica también es evidentemente constante en todos los puntos de la órbita y vamos a evaluarla en dos puntos particulares, el Periastro y el Apoastro

Periastro, (o periapsis)
\varepsilon =\dfrac{v_p^2}2-\dfrac{GM}{r_p}

Apoastro, (o apoapsis)
\varepsilon =\dfrac{v_a^2}2-\dfrac{GM}{r_a}

Conservación del momento angular, (momento cinético): Por otro lado, en el sistema compuesto por los dos objetos M y m, también se conserva el momento angular, y por lo tanto en dos puntos arbitrarios cualquiera 1 y 2 de la órbita:

\bold L=\bold{r_1} \times m \bold{v_1}=\bold{r_2} \times m \bold{v_2}

Particularizando esta expresión para el Periapsis y el Apoapsis, que son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares:

L=r_p \ m \ v_p \ \sin \dfrac{\pi}2} = r_a \ m \ v_a \ \sin \dfrac{\pi}2}

v_p=\dfrac{r_a}{r_p} \ v_a

A la expresión (3) le restamos la expresión (2)

\dfrac{v_a^2}{2}-\dfrac{v_p^2}{2} = \dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}

En esta última expresión sustituimos (4)

\dfrac{v_a^2}2-\dfrac{r_a^2}{2 r_p^2}v_a^2=\dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}

\dfrac{v_a^2}2=\left( \dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}\right) \ \dfrac{r_p^2}{r_p^2-r_a^2}

\dfrac{v_a^2}2=GM \dfrac{r_p}{r_a (r_p+r_a)}

Si a = semieje mayor de la elipse

r_p+r_a=2 \ a

r_p=2 \ a-r_a

\dfrac{v_a^2}2=GM \dfrac{2 a-r_a}{2 \ a \ r_a}

Sustituyendo (5) en (3)

\varepsilon=GM \dfrac{2 a-r_a}{2 \ a \ r_a}-\dfrac{GM}{r_a}

Luego la energía específica de un punto cualquiera de una órbita elíptica es

\boxed{\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}}

Y por lo tanto, el valor de la energía mecánica total en cualquier punto de una órbita elíptica es

\boxed{E=-\dfrac{G \ M \ m}{2 \ a}}

Del mismo modo, sustituyendo (5) en la expresión del momento angular en el apoapsis, se obtiene el valor del momento angular de la órbita elíptica

\boxed{L=m \ \sqrt{G \ M \ a \ (1-e^2)}}

e = excentricidad de la elipse

r_a=a \ (1+e)

r_p=a \ (1-e)

Finalmente, sustituyendo la expresión (6) en la (1)

\boxed{\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r=-\dfrac{G M}{2 a}}

Y de esta última se despeja la velocidad

ELIPSE
\boxed{v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{2 \ a} \right )}}

Casos particulares: órbitas circulares y parabólicas

1) La órbita circular es un caso particular de la elipse en el que el radio vector es siempre el radio R de la circunferencia y por lo tanto constante

r=a=R

CIRCUNFERENCIA
\boxed{v=\sqrt{\dfrac{G \ M}{R}}}

2) Una órbita parabólica puede verse como el límite de una elíptica en la que el eje mayor se hace infinitamente grande, por lo tanto

\dfrac 1{2 \ a} \rightarrow 0

PARABOLA
\boxed{v=\sqrt{\dfrac{2 \ G \ M}{r}}}

3) Y finalmente, se da sin demostración el caso de órbita hiperbólica, en el que la expresión es:

HIPERBOLA
\boxed{v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r+\dfrac 1{2 \ a} \right )}}

Título en inglés: speed in an elliptical orbit, velocity in elliptical orbits.

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Comentarios

  1. Avatar de Pablogarra
    Un muy útil artículo para estudiantes de Mecánica y Ondas como yo. Precisamente, tenía la duda de realizar esos cálculos en los problemas de fuerzas centrales. De hecho, me resulta tan útil que, con tu permiso, Alriga, voy a imprimirlo para estudiarlo mejor.

    ¡Muchísimas gracias!
  2. Avatar de Alriga
    Cita Escrito por Pablogarra
    ... con tu permiso, Alriga, voy a imprimirlo para estudiarlo mejor ...
    Para eso está

    Cita Escrito por Pablogarra
    ... ¡Muchísimas gracias! ...
    Gracias a ti por tu amabilidad, saludos.

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