Ver canal RSS

Alriga

Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Calificación: 4 votos, 5,00 de media.
La velocidad de un objeto de masa m, (satélite, planeta,...) que gira en torno a otro objeto de masa mucho mayor M en una órbita elíptica por influjo de la gravedad no es constante, es máxima en el periastro, mínima en el apoastro, e intermedia entre esos dos valores en los restantes puntos de la elipse.

Nombre:  Elipse_Polares.png
Vistas: 171
Tamaño: 11,3 KB

El objetivo de este desarrollo es hallar la expresión del valor del módulo de la velocidad instantánea en cualquier punto de una órbita elíptica en función de la distancia r entre m y M. (m puede ser un planeta y M la estrella en torno a la que gira, por ejemplo, la Tierra y el Sol)

Conservación de la energía: La energía mecánica total E en cualquier punto de la órbita es la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitatoria, y es constante, puesto que el campo gravitatorio es conservativo

E=E_c+E_p=cte

E=\dfrac 12 m v^2-\dfrac{GMm}r

Definimos la energía específica como la energía por unidad de masa en órbita:

\varepsilon =\dfrac E m

\varepsilon =\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r

La energía específica también es evidentemente constante en todos los puntos de la órbita y vamos a evaluarla en dos puntos particulares, el Periastro y el Apoastro

Periastro, (o periapsis)
\varepsilon =\dfrac{v_p^2}2-\dfrac{GM}{r_p}

Apoastro, (o apoapsis)
\varepsilon =\dfrac{v_a^2}2-\dfrac{GM}{r_a}

Conservación del momento angular, (momento cinético): Por otro lado, en el sistema compuesto por los dos objetos M y m, también se conserva el momento angular, y por lo tanto en dos puntos arbitrarios cualquiera 1 y 2 de la órbita:

\bold L=\bold{r_1} \times m \bold{v_1}=\bold{r_2} \times m \bold{v_2}

Particularizando esta expresión para el Periapsis y el Apoapsis, que son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares:

L=r_p \ m \ v_p \ \sin \dfrac{\pi}2} = r_a \ m \ v_a \ \sin \dfrac{\pi}2}

v_p=\dfrac{r_a}{r_p} \ v_a

A la expresión (3) le restamos la expresión (2)

\dfrac{v_a^2}{2}-\dfrac{v_p^2}{2} = \dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}

En esta última expresión sustituimos (4)

\dfrac{v_a^2}2-\dfrac{r_a^2}{2 r_p^2}v_a^2=\dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}

\dfrac{v_a^2}2=\left( \dfrac{GM}{r_a}-\dfrac{GM}{r_p}\right) \ \dfrac{r_p^2}{r_p^2-r_a^2}

\dfrac{v_a^2}2=GM \dfrac{r_p}{r_a (r_p+r_a)}

Si a = semieje mayor de la elipse

r_p+r_a=2 \ a

r_p=2 \ a-r_a

\dfrac{v_a^2}2=GM \dfrac{2 a-r_a}{2 \ a \ r_a}

Sustituyendo (5) en (3)

\varepsilon=GM \dfrac{2 a-r_a}{2 \ a \ r_a}-\dfrac{GM}{r_a}

Luego la energía específica de un punto cualquiera de una órbita elíptica es

\boxed{\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}}

Y por lo tanto, el valor de la energía mecánica total en cualquier punto de una órbita elíptica es

\boxed{E=-\dfrac{G \ M \ m}{2 \ a}}

Del mismo modo, sustituyendo (5) en la expresión del momento angular en el apoapsis, se obtiene el valor del momento angular de la órbita elíptica

\boxed{L=m \ \sqrt{G \ M \ a \ (1-e^2)}}

e = excentricidad de la elipse

r_a=a \ (1+e)

r_p=a \ (1-e)

Finalmente, sustituyendo la expresión (6) en la (1)

\boxed{\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r=-\dfrac{G M}{2 a}}

Y de esta última se despeja la velocidad

ELIPSE
\boxed{v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{2 \ a} \right )}}

Casos particulares: órbitas circulares y parabólicas

1) La órbita circular es un caso particular de la elipse en el que el radio vector es siempre el radio R de la circunferencia y por lo tanto constante

r=a=R

CIRCUNFERENCIA
\boxed{v=\sqrt{\dfrac{G \ M}{R}}}

2) Una órbita parabólica puede verse como el límite de una elíptica en la que el eje mayor se hace infinitamente grande, por lo tanto

\dfrac 1{2 \ a} \rightarrow 0

PARABOLA
\boxed{v=\sqrt{\dfrac{2 \ G \ M}{r}}}

3) Y finalmente, se da sin demostración el caso de órbita hiperbólica, en el que la expresión es:

HIPERBOLA
\boxed{v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r+\dfrac 1{2 \ a} \right )}}

Título en inglés: speed in an elliptical orbit, velocity in elliptical orbits.

Enviar "Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas" a del.icio.us Enviar "Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas" a Google Enviar "Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas" a Yahoo! Enviar "Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas" a Digg Enviar "Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas" a Diigo Enviar "Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas" a StumbleUpon Enviar "Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas" a Gennio Enviar "Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas" a Menéame

Comentarios

Trackbacks

Trackbacks totales 0
URL de trackback: