Transformaciones de Lorentz

[arreldepi]

Para hacer la demostración de las Transformaciones de Lorentz, seguiremos un camino más similar al que siguió Einstein en su artículo de 1905 que no la demostración del mismo Lorentz. De esta forma, nuestras variables serán variables cinemáticas (longitudes, tiempo, velocidades...) en determinados sistemas de referencia inerciales. La demostración que presentamos es más simplificada y partiremos de una serie de suposiciones y elección de los ejes que facilitará la tarea.

Para construir las transformaciones de Lorentz deberemos tener en cuenta:

• (i) Los dos postulados de la relatividad especial:

1. Todas las leyes físicas, mecánicas o electromagnéticas son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales.

2. La velocidad de la luz es una constante $c$ que toma el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales.

• (ii) Buscamos la transformación más sencilla.
• (iii) Debe contener como caso límite o particular a las transformaciones de Galileo.

Entonces, sea un suceso cualquiera cuyas cordenadas son $(x,y,z,t)$ en el sistema de referencia $\mathcal S$ y $(x',y',z',t')$ en el sistema de referencia $\mathcal S'$, lo que queremos ver es cómo se relacionan. Para ello, además de las consideraciones anteriores tendremos en cuenta lo que se denomina configuración estándar:

• Escogemos paralelos los ejes homónimos.
• Escogemos el origen de tiempo cuando los orígenes de coordenadas coinciden.
• La velocidad de un sistema de referencia respecto al otro es paralela al eje $OX$, es decir $\vec v = v_x\;\hat \imath\equiv v\;\hat \imath$

Entonces, de acuerdo con (ii) buscamos una transformación lineal. Es decir

$$\left\{\begin{aligned}&x'=\alpha x+ \beta t \\ &y'=y\\ &z'=z \\ &t'=\gamma t + \delta x\end{aligned}\right.$$

donde $\alpha=\alpha(v),\quad \beta = \beta(v),\quad \delta=\delta(v),\quad \gamma=\gamma(v)$

Ahora, sustituyendo las coordenadas de el origen de $\mathcal S'$, es decir $(x',y',z')=0$ en el sistema anterior, obtenemos que sus cordenadas según $\mathcal S$ son

$$\begin{aligned}&0=\alpha x + \beta t \quad\to\quad \frac xt=-\frac\beta\alpha, \\ &y=0,\\ & z=0.\end{aligned}$$

De forma que la velocidad relativa $\vec v$ de $\mathcal S'$ respecto de $\mathcal S$, teniendo en cuenta que $x=vt$, es:

$$\vec v = (v,0,0)=\left(-\frac{\beta}{\alpha},0,0\right).$$

Y, en consecuencia, nuestra relación entre sistemas será:

$$x'=\alpha(x-vt).$$

Entonces se realiza el siguiente experimento: en $t=0$ se emite un pulso de luz desde el origen que empieza a propagarse según la ecuación:

$$\begin{aligned}&\mathcal S \;\;\to\;\;& x^2+y^2+z^2-c^2t^2=0\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} & \mathcal S'\;\;\to\;\; & x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=0\end{aligned}$$

que no es más que la ecuación de una esfera de radio variable $R=ct$ o $R'=ct'$.

Lo siguiente que haremos es que

$$\left\{\begin{aligned}&x'=\alpha (x- vt) \\ &y'=y\\ &z'=z \\ &t'=\gamma t + \delta x\end{aligned}\right.$$

satisfagan (1) y (2). Si sustituimos en (2):

$$\begin{aligned}0&=[\alpha(x-vt)]^2+y^2+z^2 - c^2[\gamma t+\delta x]^2 \\&= \alpha^2(x^2-2xvt+v^2t^2)+y^2+z^2-c^2(\gamma^2t^2+2\gamma t\delta x +\delta^2 x^2)\\&= x^2(\alpha^2-c^2\delta^2)+y^2+z^2+t^2(\alpha^2v^2-c^2\gamma^2)-2(\alpha^2v+\gamma\delta c^2)xt\end{aligned}$$

Para que se conserven las leyes físicas al cambiar de sistema de referencia tiene que suceder que (3)=(1) y, si comparamos, vemos que tiene que satisfacerse el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\left\{\begin{aligned}&\alpha^2-c^2\delta^2=1\\&\alpha^2 v^2-c^2\gamma^2=-c^2\\&\alpha^2v+\gamma\delta c^2=0\end{aligned}\right.$$

De la tercera ecuación vemos que

$$\delta = -\frac{\alpha^2 v}{c^2\gamma}$$

Introduciendo esto en la primera:

$$\alpha^2-c^2\frac{v^2}{c^4\gamma^2}\alpha^4=1.$$

Además, de la segunda ecuación

$$\alpha^2 v^2 - c^2\gamma^2=-c^2 \quad \to\quad \alpha^2 = \frac{c^2}{v^2}(\gamma^2-1)$$

Combinando (5) con (4):

$$\begin{aligned}1=&\frac{c^2}{v^2}(\gamma^2-1)-\frac{v^2}{c^2\gamma^2}\cdot\frac{c^4}{v^4}(\gamma^2-1) \\ =& \frac{c^2}{v^2}(\gamma^2-1)\left[1-\frac{v^2}{c^2\gamma^2}\cdot\frac{c^2}{v^2}(\gamma^2-1)\right]\end{aligned}$$

De donde

$$(\gamma^2-1)\left[1-\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}\right]=\frac{v^2}{c^2}$$

Operando,

$$(\gamma^2-1)\frac{1}{\gamma^2}=\frac{v^2}{c^2} \quad\to\quad 1-\frac{1}{\gamma^2}=\frac{v^2}{c^2}\quad\to\quad 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{\gamma^2}$$

Con lo cual:

$$\boxed{\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}}}$$

Sustituyendo esto en (5):

$$\alpha^2=\frac{c^2}{v^2}\gamma^2\frac{v^2}{c^2} \quad\to\quad \alpha=\pm \gamma,$$

donde escogemos el signo positivo por simplicidad, con lo cual

$$\boxed{\alpha=\gamma}$$

y, por último:

$$\delta = -\frac{\alpha^2 v}{c^2\gamma}=\frac{v\gamma^2}{c^2\gamma},$$

si simplificamos, nos queda que

$$\boxed{\delta = -\frac{v}{c^2}\gamma}$$

Si sustituimos en (**), nos quedan las transformaciones de Lorentz:

$$\begin{aligned}&x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ & y'=y\\ & z'=z\\& t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{aligned}$$

[pod]

La ecuación

$$\vec v (v,0,0)=\left(-\frac{\beta}{\alpha},0,0\right).$$

es algo confusa. Supongo que falta un igual entre el vector y el 3-pla.

Por claridad, yo pondría las ecuaciones que tienen varias igualdades (como la última, por ejemplo) con una igualdad en cada línea, haciendo uso de aligned.

[arreldepi]

Ok! Ahora cambio lo del aligned. En la que comentas me olvidé el igual!
Gracias!

[Richard R Richard]

le falta un elevado al cuadrado en $(\gamma^2 -1 )$ en la combinacionde 5 con 4 pues $\alpha$ esta elevado a la 4 y en 5 esta a la 2 deberia decir $(\gamma^2 -1 )^2$ y por ello luego puedes sacarlo como factor comun