Demostración del teorema de las fuerzas vivas (recuperado)

[angel relativamente]

El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo de todas las fuerzas (conservativas y no conservativas) que actúan sobre un cuerpo provoca una variación en su energía cinética:

$$\boxed{\dst W_{i \to f}=\Delta E_C=E_C_f - E_C_i}$$

Haremos uso de la definición de trabajo para demostrarlo:

Cuando un cuerpo experimenta un desplazamiento bajo la acción de una fuerza constante decimos que dicho cuerpo realiza un trabajo cuyo valor es

$$\dst W_{i \to f}=\vec F \cdot \Delta \vec r = F \cdot \Delta r \cdot \cos \theta$$

Si la fuerza no es constante hemos de considerar desplazamientos infinitesimales (en los cuales la fuerza es constante) para poder calcular el trabajo

$$\dd W = \vec F \cdot \dd \vec r$$

Si queremos calcular el trabajo realizado cuando se produce un desplazamiento entre dos puntos, debemos hacer la suma de todos los trabajos infinitesimales entre ambos puntos. Por tanto:

$$W_{i \to f} =\int_{i}^{f} \vec F \cdot \dd \vec r$$

Por la 2ª Ley de de Newton sabemos que $\vec F = m\vec a$. Sustituyendo en (3):

$$W_{i \to f} =\int_{i}^{f} m\vec a \cdot \dd \vec r=m\int_{i}^{f} \vec a \cdot \dd \vec r$$

Puesto que $\vec a =\dfrac{\dd \vec v}{\dd t}$:

$$W_{i \to f} =m\int_{i}^{f} \dfrac{\dd \vec v}{\dd t} \cdot \dd \vec r = m\int_{i}^{f} \dfrac{ \dd \vec r}{\dd t} \cdot\dd \vec v$$

Y puesto que $\dfrac{ \dd \vec r}{\dd t} = \vec v$:

$$W_{i \to f} = m\int_{i}^{f} \vec v \cdot\dd \vec v$$

Sea $\vec v \cdot \vec v =v^2$, entonces $\dd (\vec v \cdot \vec v)=\dd v^2 = 2v\dd v$. Además, por la derivada del producto, $\dd (\vec v \cdot \vec v)=2\vec v \cdot \dd \vec v$. Así $2\vec v \cdot \dd \vec v=2v\dd v \Rightarrow \vec v \cdot \dd \vec v=v \dd v$. Sustituyendo en (6):

$$W_{i \to f} = m\int_{i}^{f} v \dd v=m \left[\dfrac{v^2}{2} \right]_i^f=\dfrac 12 m v^2_f - \dfrac 12 m v^2_i$$

Como sabemos, $E_C=\dfrac 12 mv^2$, por lo que:

$$\boxed{W_{i \to f} =E_C_f - E_C_i = \Delta E_C}$$

QED

[angel relativamente]

Lo subo aquí para que os quejéis un poco antes sobre mi demostración.
Solo hay una cosa que no me gusta en mi demostración, y es que doy por obvio que $E_C=\dfrac 12 mv^2$. Pero la única demostración que conozco de esa fórmula es a partir de la definición de trabajo, y entro en un círculo vicioso.

[Cat_in_a_box]

Hola Ángel,

A mí me gusta la demostración, buen trabajo. En cuanto a lo de la energía cinética, yo diría que es definición pura y dura, más que nada. No obstante, puedes generalizar un poco tu demostración teniendo la noción de integral de un campo vectorial sobre una curva (cosa que te inflarás de hacer en Física dentro de nada).

Te pongo una pequeña demostración, tal vez un poco más formal de este teorema, para que veas de dónde sale lo de un medio del producto de la masa por la velocidad al cuadrado. Que no te suena a chino lo de la integral de un campo vectorial sobre una curva porque de hecho tú utilizas la definición en tu demostración

Considera pues, un campo, digamos $\vec F$ que es conservativo. Además, tenemos una curva $\vec r(t)$ y aquí viene lo importante: una curva que es solución de esta ecuación diferencial:

$$\vec F(\vec r(t))=m\vec r''(t)$$

Como ves, no es más que la 2º ley de Newton, escrita con una notación un poco diferente, usando el vector posición. Pues bien, el trabajo de la partícula que se mueve a lo largo de esta curva solución es:

$$\dst\int_\Gamma \vec F\cdot\mathrm{d}\vec r=\dst\int_a^b \vec F(\vec r(t))\cdot \vec r ' (t) \mathrm{d}t = m\dst\int_a^b \vec r '' (t)\cdot \vec r ' (t)\mathrm{d}t$$

Un resultado que te ayudará en muchas ocasiones es el siguiente:

$$\vec r'(t)\cdot \vec r '' (t)=\dst\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t }\left[||\vec r ' (t)||\right]^2$$

Es curioso aplicar esto a nuestro caso: el producto escalar de la velocidad por su derivada, aceleración, es justamente un medio de la derivada de la velocidad al cuadrado. En notación más ''física'', para que lo veas, sería:

$$\vec v(t)\cdot\vec a(t)=\dst\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t }\left[v(t)\right]^2$$

Lo más general es (3) desde luego. Así que, metiendo esto en (2), resulta que:

$$\dst\int_a^b \vec F(\vec r(t))\cdot \vec r ' (t) \mathrm{d}t = m\dst\int_a^b \vec r '' (t)\cdot \vec r ' (t)\mathrm{d}t=\dst\frac{1}{2}m\dst\int_a^b \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} ||\vec r '(t)||^2 \mathrm{d}t$$

Ya ves por dónde va la cosa...ahora tienes una integral elemetal, por calificarla de algún modo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esa es la demostración análoga que se me ocurre para lo de la energía cinética. Como ves, al fin y al cabo tienes que utilizar la definición de energía cinética. Ten cuidado porque no se ve muy bien en algunas ecuaciones la ' para indicar derivada...Quédate con el resultado (4), ayuda bastante.

Saludos y felicidades por la demostración

[angel relativamente]

Hola Cat. Muchas gracias por comentar mi demostración

Lo de que la energía cinética era por definición lo intuía. Lo añadiré a la demostración para que nadie se lo pregunte.

Respecto a tu demostración, caray, parece muy rigurosa. Tengo que leer 8 veces cada ecuación hasta entenderla. Me he quedado estancado en la $(3)$. Aunque la entiendo (y he probado que funciona para una función en concreto), me gustaría saber de dónde sale.

Además tengo un par de dudas. ¿Qué indica el $\Gamma$ que pones como subíndice a la integral? ¿Qué simboliza la doble || que pones?

Me gustaría entenderla al completo

Saludos y muchas gracias de nuevo

[xXminombreXx]

El $\Gamma$ indica que la integral es a lo largo de la curva y la doble barra || indica la norma del vector, su módulo. No has dado integrales de ese tipo en bachillerato, pero son fáciles de entender intuitivamente como sumas de riemman del campo F a lo largo de la curva, la partes en trozos chiquititos y vas sumando componentes de campo tangenciales a la curva, en esa linea lo único que hace es desarrollar la integral. Esto lo verás el año que viene cuando des Cálculo. Lo tienes aquí descrito en integral curvilinea de un campo vectorial: http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea

[Cat_in_a_box]

Hola,

En efecto, tal y como te han dicho, se refería a la curva sobre la que se realiza la integración; es notación, más que nada. Ya verás el año que viene con más detenimiento las funciones con valores vectoriales, aunque ya has utilizado la mayoría de las herramientas sin darte cuenta. En cuanto a lo de la expresión (3), es un resultado, o mejor dicho, una consecuencia que se deduce de las reglas de derivación para curvas en $\mathbb{R}^3$. Considera pues una curva, derivable, como es $\vec r(t)$ -en Física, vector posición de toda la vida-. Para ahorrar en escritura, ten en cuenta que:

$$r(t)=||\vec r(t)||=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2}$$

Se tiene pues que:

$$\vec r(t)\cdot\vec r ' (t)=r(t)r'(t)$$

Aquí tanto $r(t)$ como $r'(t)$ son funciones escalares. Con ese resultado, es con el que puedes escribir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Porque no tienes más que derivar para ver que:

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t }\left[v(t)\right]^2=2v(t)\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}=2v(t)a(t)$$

Que con el un medio que se pone delante, se obtiene lo que indiqué en el anterior post. Como ves, lo importante, es la propiedad (2), del producto escalar de dos vectores con el producto de la norma de estos.

Saludos,

[angel relativamente]

Vale, ya lo he entendido, tanto el paso que explicas como la demostración completa

En realidad era tan fácil como ver que $\dfrac 12 \left[ \left(u'\right)^2\right]'=u' \cdot u''$, pero me liaba la notación.

También me liaba lo de la doble barra, siempre lo había visto con barra simple para indicar módulo.

Saludos y gracias por el aporte

[xXminombreXx]

La barra simple hace referencia al módulo del vector (euclideo), el de toda la vida. La doble barra se usa para el operador norma, del que puede haber más de un tipo, lo verás, esto, en Álgebra lineal el año que viene también, aquí tienes algunos ejemplos, por si te interesa:

http://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorial