Termodinámica de los agujeros negros

[Dramey]

Por propia voluntad, y sin sentirme para nada coaccionado por el gran pod , abro este hilo para preguntar sobre el concepto de temperatura y otras propiedades termodinámicas en los agujeros negros.
En la física "de andar por casa" la temperatura nos da idea de la energía cinética interna de un sistema. Vista la ecuación de la tempertura de un agujero negro...¿Tiene algo que ver con el concepto clásico?¿Existen otra propiedades termodinámicas (entropía, potencial de Helmholz, energía libre...) en los susodichos?

[pod]

QFT con temperatura finita

Es un tema complejo, y largo, así que voy a hacerlo por partes; no sea que me canse. Empezaremos con la temperatura. Es una analogía formal de las ecuaciones cuánticas con las ecuaciones de la termodinámica. Suele decirse que "la gravedad y la cuántica no se llevan bien", pero ahora estamos en régimen semiclásico (aunque podría llamarse semicuántico; la botella medio cuántica o medio clásica), y se aplica en el horizonte de sucesos lejos de la singularidad, por lo que todo esto será válido siempre que el agujero no sea demasiado pequeño.

Pues empecemos por recordar la función de partición en física estadística (que es una medida de la probabilidad),

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esto es colectividad canónica, si no recuerdo mal. Donde $\beta = 1/T$ es el inverso de la temperatura (tomamos unidades naturales con constante de Boltzman unidad, k = 1), y H es el hamiltoniano (también adimensional en unidades $\hbar = c = G = 1$). La suma sobre n recorre todos los estados posibles del sistema. Cada sumando, excepto normalización, representa la probabilidad de que el sistema este en ese estado.

Ahora vamos al mundo de la cuántica. La evolución de estados viene dada por el hamiltoniano,

$\left|\psi(t)\right> = \mathrm{e}^{-i t H} \left|\psi(0)\right> \ .$

La (amplitud de) probabilidad de que un estado $\psi(0)$ evolucione a otro estado $\varphi(t)$ tras un tiempo $t$ será:

$\mathcal{A} = \left< \varphi(t) \middle| \psi(t)\right> = \left< \varphi(t) \middle| \mathrm{e}^{-i t H} \middle| \psi(0)\right> \ .$

En particular, yo puedo elegir $\varphi = \psi$. Entonces, esta última ecuación es formalmente idéntica a la primera (con $T = 1/it$.) si y sólo si:

$\psi(t) = \psi(0) \ .$

Pero en la función de partición hay todos los estados posibles. Por lo tanto, si queremos que las dos teorías sean formalmente idénticas, la condición anterior se debe cumplir para cualquier estado de la teoría. Lo cual sólo se puede dar en general si el tiempo es periódico con, con periodo t.

A alguien le puede fastidiar el coeficiente complejo en $T = 1/it$. En realidad, este es un truco usual en relatividad. Haciendo el cambio de variables $t \to it$ (que recibe el nombre de rotación de Wick), una métrica minkowskiana

$\mathrm{d} s^2 = - \mathrm{d} t^2 + \mathrm{d}x^2 + \cdots \ ,$

pasa a ser euclídea

$\mathrm{d} s^2 = \mathrm{d} t^2 + \mathrm{d}x^2 + \cdots \ .$

En resumen, si somos capaces de encontrar una solución donde el tiempo euclídeo (tras la rotación de Wick) sea periódico, entonces la teoría cuántica asociada es formalmente idéntica a la termodinámica de la colectividad canónica. Para el siguiente mensaje, queda demostrar que a un agujero negro le pasa eso exactamente.

Por otra parte, como todas las cantidades termodinámicas se puede obtener a partir de la función de partición, cualquier teoría con estas características también posee todas las cantidades termodinámicas. En particular, en agujeros negros es de importancia la entropía: los agujeros negros son los objetos de su tamaño con mayor entropía (principio holográfico).

Voy a dejar unas horas/días para ver si hay comentarios sobre esta parte, antes de continuar.

[Dramey]

Re: Termodinámica de los agujeros negros

Me ha gustado mucho el planteamiento. Espero con ganas tu siguiente lección

La rotación de Wick me ha encantado, jeje.

[pod]

Re: Termodinámica de los agujeros negros

Me ha gustado mucho el planteamiento. Espero con ganas tu siguiente lección

La rotación de Wick me ha encantado, jeje.

Uhm, pues mi primer artículo científico serio iba precisamente de hacer dobles rotaciones de Wick a agujeros negros :P Ya te digo, trabajar en tiempo euclídeo es algo que se hace para varias cosas. Por ejemplo, para eliminar algunos infinitos en QFT.

Viendo la hora que es, la siguiente lección será mañana

[pod]

Geometría del horizonte de sucesos

Decíamos ayer que si somos capaces de encontrar una geometría en que, tras la rotación de Wick, el tiempo euclídeo es periódico, entonces tenemos temperatura finita (que es igual al inverso del periodo, precisamente). Pues nos toca hoy demostrar que ese es el caso de los agujeros negros. Para hacerlo, comenzaremos viendo lo que es una singularidad cónica.

Empezamos con la métrica de un plano, en coordenadas polares:

$\mathrm{d} s^2 = \mathrm{d} r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 \ .$

Donde la variable angular $\theta$ debe ser, obviamente, periódica con periodo $2\pi$. Pero, que pasa si tiene otro periodo? Pongamos por ejemplo que tiene un periodo $\alpha$; es decir, que cualquier función que dependa del ángulo cumplirá $f(\theta) = f(\theta+\alpha)$. Entonces tenemos una geometría del estilo



donde las dos líneas de corte están identificadas; es decir debemos de alguna forma pegarlas. Al hacerlo, ¿qué nos queda? Pues esto:



Un cono. Naturalmente, si $\alpha = 2\pi$, los cortes a pegar serían las mismas, por lo que tendríamos un plano. Pero el cono tiene un problema, la punta es singular. Es evidente que no puede ser un punto regulas, puesto que la tangente en ese punto está muy mal definida. Esto es lo que llamamos singularidad cónica. La métrica anterior, tan inocente que parece la pobrecita, es singular a no ser que el ángulo tenga la periodicidad correcta.

Pues bien, eso es lo que vamos a ver: existe un cambio de variables que hace que, cerca del horizonte de sucesos, una parte de la métrica del agujero negro tenga la forma anterior, lo cual nos forzará la periodicidad del tiempo. Como quiero acabar hoy a ser posible voy a hacerlo con un agujero negro de Schwarzschil, cuya métrica euclídea (ya con la famosa rotación de Wick hecha) es:

$\displaystyle \mathrm{d} s^2 = \left( 1 - \frac{a}{r} \right) \mathrm{d} t^2 + \frac{\mathrm{d} r^2}{1- \frac{a}{r}} + r^2 \mathrm{d}\theta + r^2 \sin^2\theta \mathrm{d}\varphi^2 \ .$

Donde $a = 2M$ es el radio de Schwarzchil en unidades naturales. A nosotros nos importan los dos primeros términos, tenemos que demostrar que se pueden escribir como un plano polar;

$\mathrm{d} s^2 = \mathrm{d} \rho^2 + \rho^2 \mathrm{d} \theta^2 \ .$

(Vale, esta $\theta$ no es la misma que la de la formula anterior, pero no tengo ganas de introducir mas letras).Como hemos dicho, la parte del tiempo va a ser el ángulo, por lo que la parte radial será... la parte radial :P por lo tanto tenemos

$\mathrm{d} \rho^2 = \frac{\mathrm{d} r^2}{1- \frac{a}{r}} = \frac{r\mathrm{d} r^2}{r-a} \ .$

Y hay que integrar esto, lo cual no es agradable. Para simplificarlo, nos acordamos que estamos cerca del horizonte, $r \approx a$, por lo que tenemos derecho a hacer la substitución en toda en la $r$ del numerador (no en el denominador, ya que nos daría una singularidad). Por lo tanto, tenemos,

$\rho = \int \!\! \mathrm{d} r \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{r-a}} = 2 \sqrt{a (r-a)} \ .$

Ahora hacemos lo mismo con la parte temporal,

$\rho^2 \mathrm{d}\theta^2 = \left( 1 - \frac{a}{r} \right) \mathrm{d} t^2 \ ,$

que haciendo el mismo tipo de manipulaciones y aproximaciones en el segundo miembro, queda

$4a(r-a) \mathrm{d}\theta^2 = \frac{1}{a} (r-a) t^2 \ ,$

por lo tanto,

$\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2a} \mathrm{d} t \ ,$

cuya integración es bastante agradable, a saber: $\theta = t/2a$.

Bien, ya hemos demostrado que la métrica del agujero negro se puede escribir como un plano con el cambio de variables dado. Ahora bien, la variable angular debe tener la periodicidad correcta para que el espacio (euclídeo) no sea singular. Eso nos induce una periodicidad en el tiempo (euclídeo), que como ya sabemos está relacionada con el inverso de la temperatura $\beta = 1 / T$. Es decir,

$<br /> \begin{array}{rcl}<br /> \theta & = & \frac{t}{2a} \ , \\<br /> \theta + 2\pi & = & \frac{t}{2a} + \frac{\beta}{2a} \ .<br /> \end{array}<br />$

Restando, tenemos

$2\pi = \frac{\beta}{2a} \ ,$

lo que nos da la temperatura (recordar $a = 2M$),

$T = \frac{1}{8\pi M} \ .$

Tadáááááááá! Esta es la temperatura de un agujero negro esférico. No es el único modo de calcularla, y para según que agujeros negros (como para el rotante) puede tener ciertas complicaciones; pero en algunos casos es adecuada, y en cualquier caso nos permite conectar directamente con el significado de temperatura en una QFT.

Para mañana (u otro día), quedan algunos comentarios más sobre otras magnitudes termodinámicas, y también algo más sobre la temperatura.

[adroxef]

Re: Termodinámica de los agujeros negros

Hola ! super interesante lo que has escrito. Me salta una duda... como sabemos que el periodo del tiempo euclideo está relacionado con el inverso de la temperatura ??

[pod]

Re: Termodinámica de los agujeros negros

Hola ! super interesante lo que has escrito. Me salta una duda... como sabemos que el periodo del tiempo euclideo está relacionado con el inverso de la temperatura ??

Está explicado en el mensaje #2; que, por cierto, fue escrito hace cuatro años