1r ciclo Campo electrico sobre el eje de un disco

[Mayhem]

Hola, no sé resolver este problema, a ver si me podéis echar una mano. Os copio el enunciado:

"Un disco de radio a está uniformemente cargado con una carga Q. Calcular el campo eléctrico en puntos del eje perpendicular que pasa por el centro del disco (eje Z)."

La cuestión es que ya he hecho uno parecido, pero en vez de un disco era un anillo. De momento tengo esto, no sé si estará bien. Como la única componente de los distintos campos eléctricos que importa es el z, podemos decir que:

$<br /> d \vec{E_{z}} = d\vec{E} cos \alpha= d\vec{E} \frac{z}{(z^2+a^2)^{1/2}}$

Y ahora integro, y me queda esto:

$\vec{E_{z}} = \frac{z}{(z^2+a^2)^{1/2}} \int\frac{dq}{4 \pi \epsilon_{0} (z^2 + a ^2)}$

La cuestión es que no se como seguir. En el disco lo que hacía es sacar el z al cuadrado más a al cuadrado, porque era constante (toda la carga se encontraba ahí), pero ahora no sé como seguir...

Os dejo la solución, que es:

$\frac{Q}{2 \pi \epsilon_{0} a^2}(1- \frac{z} {(z^2 + a^2)^{1/2}}) \vec{k}$

Un saludo y gracias por adelantado

[[Beto]]

Re: Campo electrico sobre el eje de un disco

Hola

En un punto a una distancia $z$, ese diferencial de carga lo que hace es generar un diferencial de campo, el cual viene dado por:

$$\dd E=\frac{k\dd q}{r^2}\cos\alpha$$

Donde:

$$\cos\alpha=\frac{z}{(z^2+r^2)^{1/2}}$$

Si suponemos que la densidad superficial de carga del disco es uniforme tendrías que:

$$\sigma=\frac{q}{\pi R^2}=\frac{\dd q}{r\dd r\dd \theta}\Longrightarrow\dd q=\frac{q r\dd r\dd \theta}{\pi R^2}$$

Finalmente reemplazando (2) y (3) en (1) e integrando, obtienes que:

$$E=\frac{kqz}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\int_0^r\frac{\dd r\dd\theta}{r(r^2+z^2)^{1/2}}$$

De ahí solo te queda integrar.

Obviamente estoy calculando la magnitud de ese campo y es fácil notar que esta orientado en la dirección $Z$, ya que las otras componentes se anulan.

[pod]

Re: Campo electrico sobre el eje de un disco

Si tienes el del anillo, el de un disco es muy sencillo. Haz lo siguiente: divide el disco en muchos anillos concéntricos, cada cual con una carga $\dd q = \sigma\ 2\pi r \dd r = \frac{Q}{\pi R^2}\ 2\pi r\dd r$, y después substituye en la fórmula del anillo e integra.

[Mayhem]

Re: Campo electrico sobre el eje de un disco

Gracias a los dos, gracias a vuestra ayuda ya lo he conseguido solucionar Es que a mí esto de los diferenciales aún me lia un poco, porque el año pasado nunca los utilizabamos y ahora aparecen por todas partes... cuestión de acostumbrarse.

Un saludo

[pod]

Re: Campo electrico sobre el eje de un disco

Gracias a los dos, gracias a vuestra ayuda ya lo he conseguido solucionar Es que a mí esto de los diferenciales aún me lia un poco, porque el año pasado nunca los utilizabamos y ahora aparecen por todas partes... cuestión de acostumbrarse.

Un saludo

Bueno eso es por que te haces mayor y cada vez utilizas cosas más chulas.