Una resolución sorprendente

[NuezMoscada]

Voy a plantear un problema que en principio puede no parecer muy ingenioso sino bastante mecánico. Veamos:

Supongamos que el lector y yo jugamos a un sencillo juego; por turnos, lanzamos una moneda, y ganará el que primero saque cara. Es decir, si tiras y sale cruz, entonces es mi turno, y así hasta que uno saque cara. Supongamos que empiezo yo. ¿Qué probabilidad tengo de ganar el juego?

Aplicando fórmulas llega a salir de forma no muy complicada, pero lo planteo por otro motivo. Un usuario del canal que desconocía tales fórmulas inventó un ingenioso método gráfico para resolver este problema de forma sencilla. Lo mejor es que es mismo método se puede aplicar a problemas de probabilidad de muy compleja resolución. Me ha parecido tan brillante que no he podido resistirme a compartirlo con vosotros. En breve dará la resolución, primero espero a que lo penséis y os animo a publicar vuestras soluciones.
Un saludo

[elfio]

Re: Una resolución sorprendente

Bueno, no se si servirá, pero a mi siempre me ha valido que, para que salga la cara o la cruz, se pone la que se quiera que salga hacia abajo, la lanzas al aire, y luego se le da la vuelta (así es como lo suelo hacer...) y así suele salir la cara que quieras....funciona casi siempre....

[NuezMoscada]

Re: Una resolución sorprendente

A mí algo qeu me va bien de verdad es echarle un chorrito de cognac del bueno al estofado de ternera con guisantes, se deja evaporar el alcohol y la carne queda jugosita jugosita... funciona casi siempre...

[aLFRe]

Re: Una resolución sorprendente

A mí algo qeu me va bien de verdad es echarle un chorrito de cognac del bueno al estofado de ternera con guisantes, se deja evaporar el alcohol y la carne queda jugosita jugosita... funciona casi siempre...

También un poquito de nuez moscada para la carne
le da un buen saborcito.

[elfio]

Re: Una resolución sorprendente

Vale, indirecta captada....

[_FoX_]

Re: Una resolución sorprendente

Bueno, no se si servirá, pero a mi siempre me ha valido que, para que salga la cara o la cruz, se pone la que se quiera que salga hacia abajo, la lanzas al aire, y luego se le da la vuelta (así es como lo suelo hacer...) y así suele salir la cara que quieras....funciona casi siempre....

Si no da ninguna vuelta en el aire, perfecto.

[Dramey]

Re: Una resolución sorprendente

Si no da ninguna vuelta en el aire, perfecto.

No te creas que no hace falta que de vueltas. Yo he conseguido 37 caras seguidas .
Y luego una cruz y otras 20...vamos que de 100 tiradas te aseguro menos de 10 cruces, y de 1000 menos de 100

Y no tengo mucha suerte

Perdón por el off-topic, la verdad que no se me ocurre la resolución gráfica ingeniosa, así sin más pistas es muy dificil

[pod]

Re: Una resolución sorprendente

Nuez! Una pista por favor.... ¿tiene que ver con el teorema de pitágoras?

[NuezMoscada]

Re: Una resolución sorprendente

No es necesario dar una solución gráfica, cualquier otra vale. Será bonito comparar las diferentes soluciones
PS: Y sí, a ese guiso de ternera también le pongo nuez moscada, es sublime.

[pod]

Re: Una resolución sorprendente

Pues a mi me sale que la probabilidad de que gane el que empieza tirando es 2/3.

La demostración es sencilla. La probabilidad de que el primero en tirar gane es igual a la probabilidad de que gane en la primera tirada (1/2), más la probabilidad que gane en la tercera, más la probabilidad de que gane en la quinta, etc.

La probabilidad de que gane en la enésima tirada es como sigue; nade debe haber ganado en las n-1 tiradas previas, $(1/2)^{n-1}$ por la probabilidad de la enésima sea ganadora, (1/2). Por lo tanto la probabilidad total de que gane en la enésima será $1/2^n$.

Al final, simplemente tenemos que sumar: obtenemos una simple serie geométrica,

$P = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n} = \frac{2}{3} \ .$


EDICIÓN: Se me ocurrió una posible solución geométrica... mañana la pondré, a ver si es similar a la de tu amigo.

[_FoX_]

Re: Una resolución sorprendente

No te creas que no hace falta que de vueltas. Yo he conseguido 37 caras seguidas .
Y luego una cruz y otras 20...vamos que de 100 tiradas te aseguro menos de 10 cruces, y de 1000 menos de 100

Y no tengo mucha suerte

Pues no logro entender eso, ¿La moneda está cargada?, ¿Le hacen algún truco o simplemente es costumbre de tirar la moneda con el mismo impulso inicial para que de siempre las mismas vueltas para que salgan más caras que sellos?,

se supone que el problema es tirando la moneda en una situación totalmente aleatoria, la probabilidad sería de 1/2, pues si creyera en esas cosas ¿No creen que ya me habría ganado todos los premios en Las Vegas? xD.

Referente a la respuesta de pod, si sacas la probabilidad de que gane el jugador que parte, a la enésima tirada, ¿Esa "n" representa sólo las tiradas del primer jugador o de ambos?, pues si la respuesta fuese que cuenta la de ambos jugadores, me parecería más correcta si fuese "2n" o algo por el estilo que sólo cuente n como número par, para que cuando se calcule la probabilidad no sea el turno del otro jugador.

[elfio]

Re: Una resolución sorprendente

Bueno, respecto al tema central, no se nada de nada; vamos que no tengo ni idea...

En cuanto a lo que dije, no se cual será el motivo de que la gran mayoría de las veces salga así, y es más, si la lanzas con más o menos fuerza, también suele salir.

Si queréis lo vuelvo a explicar....pero creo que se entiende, no??

[pod]

Re: Una resolución sorprendente

Referente a la respuesta de pod, si sacas la probabilidad de que gane el jugador que parte, a la enésima tirada, ¿Esa "n" representa sólo las tiradas del primer jugador o de ambos?, pues si la respuesta fuese que cuenta la de ambos jugadores, me parecería más correcta si fuese "2n" o algo por el estilo que sólo cuente n como número par, para que cuando se calcule la probabilidad no sea el turno del otro jugador.

Esa es la función del 2n+1 que hay en el primer sumatorio

[NuezMoscada]

Re: Una resolución sorprendente

Enhorabuena, tu solución es impecable y de hecho es la que habitualmente se daría en un curso de probabilidad. Pero significa esto que la solución a a este problema está vetada a las personas que no sepan lo que es una serie, o que no sepan calcularlas? No señores no! Con un poco de ingenio, no es necesario aprender a sumar series para resolver este problema. Voy a esperar a que pod publique su solución geométrica para daros la prometida "sorprendente resolución".
Saludos

[_FoX_]

Re: Una resolución sorprendente

Pues, si a mí me preguntasen eso no sabría como resolver el problema, ya que no sé utilizar sumatorias, aunque una vez la profesora de matemáticas le preguntó a mi curso qué fórmula usar para calcular cuántos tarros de atún se necesitarían para la pirámide de enésimas filas, teniendo en cuenta que la pirámide de tarros parte de 1 tarro, luego la siguiente fila 2 tarros, luego 3 y así sumándole uno por cada fila.

A nadie se le ocurrió como hacerlo, y la profesora dió un día para pensar y obtuve una solución gráfica diferete a todas las demás (la obtuve mientras me quedaba dormido, creo que tengo ese poder xD).

E hice este esquema en mi cabeza.

O
OO
OOO
OOOO
OOOOO

Las ordené de esa forma para 5 filas y me dí cuenta que era un poco más de la mitad del cuadrado del número de filas, pero la mitad del cuadrado de 5 en este caso resultaría:

(Izquierda, cuadrado de n, a la derecha la mitad del cuadrado de n)

OOOOO O
OOOOO OO
OOOOO OO@
OOOOO OOO
OOOOO OOOO

Siendo @ la mitad de un tarro, pero me di cuenta luego que era la mitad de la diagonal, entonces para obtener la cantidad de tarros era necesario calcular la mitad del cuadrado de n más la mitad de n:

$N = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}$

Siendo N la cantidad de tarros para la pirámide de enésimas filas, aunque la fórmula correcta incluía sucesor de n y otras cosas.

Voy a ver si se me ocurre otra cosa así para resolver éste =D.