Otras carreras Demostraciones

[juantv]

Saludos

Viendo un libro de mecanica me he encontrado con dos problemillas(que me atasco a un estas cosas de mecanica clasica ), dicen:

1. Un objeto obligado a moverse sobre el ejex, recorre una distancia d1 con una velocidad constante v1 en un tiempo t1. Despues cambia al instante su velocidad a una velocidad constante v2 en el tiempo t2, cubriendo una distancia d2.

a) Demuestre que :

$$\dst \frac{v_{1}d_{1}+ v_{2}d_{2}}{d_{1}+d_{2}}\ge \frac{v_{1}t_{1}+ v_{2}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}$$

b) en que condiciones es una igualdad?

Respecto a este problema, tengo serios problemas de comprension respecto a ''demuestre'' que espero me aclaren. mi confusion es si me piden llegar a esa desigualdad o una vez dado por sentado esa desigualdad, demostrar que es veridica produciendo un hecho que se sabe?. sobre este problema, si no me he equivocado en los pasos y dando por sentado que es cierta la desigualdad(no se si hago bien) llego a que v2>=v1 .

agradezco cualquier sugerencia sobre este problema.

Bien en cuanto al otro hay una figura(que no se como hacerla para colgarla ) :

2. Una medida de la aceleracion g se efectuo lanzando una pelota de vidrio hacia arriba en un tubo al vacio y dejandolo retornar. sea

$$\Delta t_{L}$$

el intervalo entre los dos pasajes por el nivel inferior ,

$$\Delta t_{U}$$

el intervalo entre los dos pasajes por el nivel superior y $H$ la distancia entre ambos niveles. Demuestre que:

$$\dst g = \frac{8H}{(\Delta t_{L})^2 - (\Delta t_{U})^2}$$

y de este, no tengo ni idea(Nota: esta en la seccion de movimiento en una direccion), aunque e intentado usando las ecuaciones de lanzamiento vertical hacia arriba, usando extremos del intervalo, pero no se como usar las ecuaciones introduciendo diferencias de tiempo(intervalos), agradezco, de nuevo, cualquier idea. ahi intento colocar una imagen a ver

http://www.dabbleboard.com/draw





Gracias.

[pod]

Re: Demostraciones

Saludos

Viendo un libro de mecanica me he encontrado con dos problemillas(que me atasco a un estas cosas de mecanica clasica ), dicen:

1. Un objeto obligado a moverse sobre el ejex, recorre una distancia d1 con una velocidad constante v1 en un tiempo t1. Despues cambia al instante su velocidad a una velocidad constante v2 en el tiempo t2, cubriendo una distancia d2.

a) Demuestre que :

$$\dst \frac{v_{1}d_{1}+ v_{2}d_{2}}{d_{1}+d_{2}}\ge \frac{v_{1}t_{1}+ v_{2}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}$$

b) en que condiciones es una igualdad?

Respecto a este problema, tengo serios problemas de comprension respecto a ''demuestre'' que espero me aclaren. mi confusion es si me piden llegar a esa desigualdad o una vez dado por sentado esa desigualdad, demostrar que es veridica produciendo un hecho que se sabe?. sobre este problema, si no me he equivocado en los pasos y dando por sentado que es cierta la desigualdad(no se si hago bien) llego a que v2>=v1 .

Las dos formas de demostración son válidas En este caso, la que a mi, a priori, me parece más práctica es la segunda: partir de la inecuación que te dan, desarrollar y ver que no lleva a ninguna contradicción. Ahora bien, me temo que no creo que tu resultado sea correcto. Los índices 1 y 2 en la fórmula juegan el mismo papel, son intercambiables, así que no es posible que te salga un resultado tan asimétrico.

Lo que a mi se me ocurre es quitar todos los tiempos:

$$\dfrac{v_1 d_1 + v_2 d_2}{d_1 + d_2} \ge \dfrac{d_1 + d_2}{ d_1/v_1 + d_2 / v_2 } .$$

Ahora, paso los denominadores multiplicando al otro lado, y multiplico todo por $v_1 v_2$ (hay que suponer que es positivo, sino tendremos problemas: pero no es una suposición muy grande, porque significa que en los dos periodos de tiempo el cuerpo se mueve en el mismo sentido),

$$( v_1 d_1 + v_2 d_2 )( v_2 d_1 + v_1 d_2 ) \ge v_1 v_2 (d_1 + d_2 )^2 .$$

Ahora, lo que hacemos es desarrollar un poco el lado de la izquierda. Tras trabajar un poco, queda

$$v_1 v_2 (d_1^2 + d_2^2) + d_1 d_2 (v_1^2 + v_2^2) \ge v_1 v_2 (d_1 + d_2 )^2 .$$

Continuamos juntando todos los términos que tienen $v_1 v_2$ (hay que pasar el miembro de la derecha restando) y desarrollando el cuadrado,

$$v_1 v_2 (-2 d_1 d_2 ) + d_1 d_2 (v_1^2 + v_2^2) \ge 0.$$

Fíjate que ahora todo queda proporcional a $d_1 d_2$, y además completa el cuadrado perfecto

$$d_1 d_2 ( v_1 - v_2 )^2 \ge 0 .$$

Fíjate que esta expresión es simétrica en los índices, gracias al cuadrado $( v_1 - v_2 )^2 = ( v_2 - v_1 )^2$. Si suponemos que las distancias son positivas (o, por lo menos, tienen el mismo signo: de nuevo el móvil se mueve en el mismo sentido en ambos periodos de tiempo), esto siempre es verdad, ya que el cuadrado siempre es positivo. Hemos llegado a una expresión que sabemos que es cierta, y por lo tanto la expresión de partida queda demostrada.

De esta expresión también queda claro que la igualdad se da $v_1 = v_2$ (las distancias pueden ser diferentes, por ejemplo si los tiempos son diferentes).

[Al2000]

Re: Demostraciones

¡Hola! Hmmm, mas interesante que jugar Sudoku Contribuyo con la segunda por ahora...

...
2. Una medida de la aceleracion g se efectuo lanzando una pelota de vidrio hacia arriba en un tubo al vacio y dejandolo retornar. sea

$$\Delta t_{L}$$

el intervalo entre los dos pasajes por el nivel inferior ,

$$\Delta t_{U}$$

el intervalo entre los dos pasajes por el nivel superior y $H$ la distancia entre ambos niveles. Demuestre que:

$$\dst g = \frac{8H}{(\Delta t_{L})^2 - (\Delta t_{U})^2}$$

...

Tenemos lo siguiente:

- Tiempo total de vuelo desde que pasa la marca inferior hasta que retorna a élla: $\dst \Delta t_L$
- Velocidad en la marca inferior: $\dst v_L = \frac 1 2 g \Delta t_L$
- Tiempo de vuelo desde que pasa la marca superior hasta que retorna a élla: $\dst \Delta t_U$
- Velocidad en la marca superior: $\dst v_U = \frac 1 2 g \Delta t_U$
- Cambio de velocidad entre las marcas al subir: $\dst v_L^2 - v_U^2 = 2 g H$

Entonces poniendo todo junto:

$\dst \frac 1 4 g^2 (\Delta t_L)^2-\frac 1 4 g^2 (\Delta t_U)^2-2 g H = 0 \quad \Rightarrow \quad g \left\{[(\Delta t_L)^2-(\Delta t_U)^2] g - 8 H\right\} = 0$

y se obtiene así

$\dst g = \frac {8H}{(\Delta t_L)^2-(\Delta t_U)^2} \quad \mathcal \boldsymbol {LQQD}$

Saludos,

Al

[juantv]

Re: Demostraciones

Fíjate que ahora todo queda proporcional a $d_1 d_2$, y además completa el cuadrado perfecto

$$d_1 d_2 ( v_1 - v_2 )^2 \ge 0 .$$

Fíjate que esta expresión es simétrica en los índices, gracias al cuadrado $( v_1 - v_2 )^2 = ( v_2 - v_1 )^2$. Si suponemos que las distancias son positivas (o, por lo menos, tienen el mismo signo: de nuevo el móvil se mueve en el mismo sentido en ambos periodos de tiempo), esto siempre es verdad, ya que el cuadrado siempre es positivo. Hemos llegado a una expresión que sabemos que es cierta, y por lo tanto la expresión de partida queda demostrada.

Gracias, pod. ya entiendo, practicamente habia llegado a la misma expresion

$$d_1 d_2 ( v_1 - v_2 )^2 \ge 0 .$$

solo que cometia el error de dejarlo como :

$$( v_2 - v_1 )^2 \ge 0 .$$

y decir(sin fijarme) que :

$$v_2 \ge v_1 .$$

y quedarme con esa conclusion .(cuando sera que razonare con calma).

Gracias.

[juantv]

Re: Demostraciones

¡Hola! Hmmm, mas interesante que jugar Sudoku Contribuyo con la segunda por ahora...



Tenemos lo siguiente:
- Velocidad en la marca inferior: $\dst v_L = \frac 1 2 g \Delta t_L$
- Velocidad en la marca superior: $\dst v_U = \frac 1 2 g \Delta t_U$
- Cambio de velocidad entre las marcas al subir: $\dst v_L^2 - v_U^2 = 2 g H$

Entonces poniendo todo junto:

$\dst \frac 1 4 g^2 \Delta t_L^2-\frac 1 4 g^2 \Delta t_U^2-2 g H = 0 \quad \Rightarrow \quad g \left[(\Delta t_L^2-\Delta t_U^2) g - 8 H\right] = 0$

y se obtiene así

$\dst g = \frac {8H}{\Delta t_L^2-\Delta t_U^2} \quad \mathcal \boldsymbol {LQQD}$

Saludos,

Al

Gracias AL, respecto a esta, tenia mis serias dudas por que si bien sigo pensando en que la costumbre me lleva a reemplazar en dichas relaciones informacion PUNTUAL(por ejemplot t1, un tiempo dado) y no parametros de intervalo(difrencia entre dos tiempos , pj t1 y 12), porque se me viene a la cabeza algo como discreto y no puntual, en fin cosas de cada quien(espero abrirme mas y mejorar esa parte de querer todo preciso y puntual), como ves respecto a la parte matematica que has hecho lo entiendo, pero lo fisico no del todo asegurado(aunque de cierta manera si , por eso del intervalo xD).

Ya, en fin, gracias AL.

[juantv]

Re: Demostraciones

Ah y una ultima cosa, las demostraciones en fisica(la carrera) son asi?, o por la otra forma(la de llegar a esa expresion, ciertamente me parece mas significativo llegar a la desigualdad y no por medio de la desigualdad probar que conduce a algo veridico ), alguien sabe como seria para llegar a esa desigualdad?, cuando me dicen ''Demuestre'', sea en matematicas o en fisica, las dos formas son validas?, gracias de ante mano.

Nota: Como nota curiosa de lo segundo, el problema de la forma de hallar g (aceleracion gravitacional), fue uno de los metodos de la National Physical Laboratory de Inglaterra( que es el equivalente britanico del national institute of standars and technology)

[Al2000]

Re: Demostraciones

Gracias AL, respecto a esta, tenia mis serias dudas por que si bien sigo pensando en que la costumbre me lleva a reemplazar en dichas relaciones informacion PUNTUAL(por ejemplot t1, un tiempo dado) y no parametros de intervalo(difrencia entre dos tiempos , pj t1 y 12), porque se me viene a la cabeza algo como discreto y no puntual...

Así empecé yo, nombrando cuatro instantes t1...t4 para cada marca pero se empezó a poner la cosa pelúa y busqué simplificar el procedimiento, en principio cambiando el origen y felizmente pude llegar a esa solución muy compacta.

Saludos,

Al

[pod]

Re: Demostraciones

Gracias, pod. ya entiendo, practicamente habia llegado a la misma expresion

$$d_1 d_2 ( v_1 - v_2 )^2 \ge 0 .$$

solo que cometia el error de dejarlo como :

$$( v_2 - v_1 )^2 \ge 0 .$$

y decir(sin fijarme) que :

$$v_2 \ge v_1 .$$

y quedarme con esa conclusion .(cuando sera que razonare con calma).

Gracias.

Cargarte las d's puedes hacerlo, simplemente divides por ellas a ambos lados. Eso sí, tienes que asegurarte que sean positivas (si fueran cero, la desigualdad cambia de lado). Si quieres hacerlo todo perfecto, lo que tienes que hacer es considerar los dos casos: que sea positivo y que sea negativo.

Para quitar el cuadrado, tienes que ir con más cuidado con los signos. El cuadrado es definido positivo, así que de hecho lo que sí puedes poner es

$$|v_1 - v_2| \ge 0.$$

Ah y una ultima cosa, las demostraciones en fisica(la carrera) son asi?, o por la otra forma(la de llegar a esa expresion, ciertamente me parece mas significativo llegar a la desigualdad y no por medio de la desigualdad probar que conduce a algo veridico ), alguien sabe como seria para llegar a esa desigualdad?, cuando me dicen ''Demuestre'', sea en matematicas o en fisica, las dos formas son validas?, gracias de ante mano.

Sí, las dos formas son válidas. Demostrar significa hacer evidente que la expresión dada es equivalente a otra que es obviamente cierta, en base a los axiomas (o de los postulados, en Física). Y puedes hacerlo de las dos formas: partir de algo cierto y demostrar que implica lo que quieres demostrar; o al revés, tomar lo que quieres demostrar y reducirlo a algo obviamente cierto. Incluso hay veces que se utiliza un método mixto

Si quieres hacer este problema al revés, simplemente tienes que hacer todos los pasos que hemos hecho, pero al revés. Partes del hecho que el cuadrado de un número real es positivo, multiplicas las d's, desarrollas, agrupas términos... Así, seguro que te sale, aunque probablemente haya otras formas.

[Al2000]

Re: Demostraciones

...
ciertamente me parece mas significativo llegar a la desigualdad y no por medio de la desigualdad probar que conduce a algo veridico ), alguien sabe como seria para llegar a esa desigualdad?
...

Desde que propusiste la demostración me estuvo fastidiando el "cómo" se llegó a esa desigualdad. ¿Algún genio tuvo un brote espontáneo de clarividencia y dijo "estoy seguro que el promedio espacial siempre es mayor que el promedio temporal"? ¿O algún persistente necio jugó con las expresiones hasta que finalmente parió la fulana desigualdad?

Bueno, aquí mi versión de algo intermedio. Digamos que tengo la sana curiosidad de si el promedio espacial de la velocidad es o no igual al promedio temporal

$$\frac {v_1 d_1 + v_2 d_2}{d_1+d_2} \,\,?\,\, \frac {v_1 t_1 + v_2 t_2}{t_1+t_2}$$

de modo que me planteo calcular el cociente para comparar con la unidad

$$x = \frac {\dst \frac {v_1 d_1 + v_2 d_2}{d_1+d_2}} {\dst \frac {v_1 t_1 + v_2 t_2}{t_1+t_2}} = \frac {(v_1 d_1 + v_2 d_2)(t_1+t_2)}{(v_1 t_1+v_2 t_2)(d_1+d_2)} = \frac {(v_1 d_1+v_2 d_2)\left (\dst \frac {d_1}{v_1}+\dst \frac {d_2}{v_2}\right)}{(d_1+d_2)^2}$$

$$x = \frac {d_1^2 + d_2^2 + \left(\dst \frac {v_1}{v_2} + \dst \frac {v_2}{v_1}\right) d_1 d_2}{(d_1+d_2)^2} = \frac {(d_1+d_2)^2 + \left(\dst \frac {v_1}{v_2} + \dst \frac {v_2}{v_1} - 2\right) d_1 d_2}{(d_1+d_2)^2}$$

$$x = 1 + \frac {\dst \frac {v_1^2 + v_2^2 - 2 v_1 v_2}{v_1 v_2} d_1 d_2}{(d_1+d_2)^2} = 1 + \frac {(v_1 - v_2)^2 t_1 t_2}{(d_1+d_2)^2}$$

y como

$$\frac {(v_1 - v_2)^2 t_1 t_2}{(d_1+d_2)^2} \ge 0$$

se sigue entonces que $x \ge 1$.

Saludos,

Al

[juantv]

Re: Demostraciones

Me acabas de mostrar cuan cantidad de desigualdades, simples, ''concretas'' y quiza complejas puedo llegar a formular aunque no se tenga aplicacion potente.

[Nissan]

Re: Demostraciones

Ah y una ultima cosa, las demostraciones en fisica(la carrera) son asi?, o por la otra forma(la de llegar a esa expresion, ciertamente me parece mas significativo llegar a la desigualdad y no por medio de la desigualdad probar que conduce a algo veridico ), alguien sabe como seria para llegar a esa desigualdad?, cuando me dicen ''Demuestre'', sea en matematicas o en fisica, las dos formas son validas?, gracias de ante mano.

Nota: Como nota curiosa de lo segundo, el problema de la forma de hallar g (aceleracion gravitacional), fue uno de los metodos de la National Physical Laboratory de Inglaterra( que es el equivalente britanico del national institute of standars and technology)

Las desmostraciones, por desgracia o por fortuna, no suelen ser tan sencillas. En realidad, deberias demostrarlo en ambos sentidos; es decir coger una y llegar a la otra y viceversa. Lo que pasa que para "demostraciones" sencillas, que involucran solo manipulaciones algebraicas "invertibles", al hacerlo en un sentido se cumple automaticamente en el contrario (solo hay que aplicar los pasos inversos, por eso se exige que existan).

Cuando vayas avanzando veras que hay muchos tipos de demostraciones y de propiedades que se pueden demostrar, y que hay que tener cuidado en lo que se quiere lograr. Por ejemplo, si quieres demostrar que algo es equivalente a otra cosa, tienes que demostrar que lo primero implica lo segundo y lo segundo implica lo primera; es decir, demostrarlo en ambas direcciones.