1r ciclo Cosmología: Depende, ¿de qué depende?

[Entro]

Lo interesante para poder jugar en cosmología es ver como dependen las cantidades de interés con los distintos parámetros y especialmente con el tiempo... sabiendo dichas dependencias se pueden decir bastantes cosas.

Empecemos por la densidad:

$\dfrac{\rho(t)}{dt}$: Vamos a ver como se comporta la derivada de la densidad, recordando que la masa encerrada en la esfera que usamos para definir las ecuaciones FRW es constante...

$\dot{\rho}=\dfrac{d}{dt}\dfrac{3M}{4\pi r^3}=\dfrac{-9M}{4\pi r^3}\dfrac{\dot{r}}{r}=-3\rho\dfrac{\dot{a}}{a}=-3H\rho$

Así que nos colamos con una ecuación: $\dot{\rho}+3H\rho=0$ que tiene la virtud de ser una ecuación de continuidad para la materia... (esta ecuación se debe de generalizar cuando tenemos materia que ejerce presión, lo que se llama en cosmología materia relativista)

Si resolvemos la ecuación de continuidad tenemos:

$$\rho=\rho(t_i)\dfrac{a(t_i)^3}{a(t)^3}$$

Donde $t_i$ es un tiempo arbitrario fijado.

Lo importante es que la densidad varía como:

$\rho\propto a^{-3}$

Introducimos (1) en la ecuación de F(RW):

$$(\dfrac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi G}{3}\rho(t_i)\dfrac{a(t_i)^3}{a^3}-\dfrac{Kc^2}{a^2}$$

Clasificación:

Vamos a ver que podemos entender de estas ecuaciones...

1.- El universo se expande $\dot{a}>0$.

2.- Si retrocedemos en el tiempo a(t) se hará cada vez más pequeño de ser así el primer término de (2) domina.

$$(\dfrac{\dot{a}}{a})^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho(t_i)\dfrac{a(t_i)^3}{a^3}$$

3.- O podemos estar en el caso de que K=0, lo que indicaría que la curvatura de las hojas espaciales es nula, lo que significa un universo plano. También tendríamos esa ecuación:

$(\dfrac{\dot{a}}{a})^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho(t_i)\dfrac{a(t_i)^3}{a^3}$

Esa ecuación se puede resolver... pero es largo, pero obtendríamos:

$a\propto t^{2/3}$

4.- Si $K>0$ llegamos a un tiempo donde $\dot{a}=0$. Solo hay que mirar la ecuación de F(RW) y ver que tenemos dos términos en competencia (se están restando) por lo tanto en algún punto se han de anular... Eso quiere decir que el universo, en ese caso para su expansión y eventualente recolapsará.

K>0 Implica curvatura positiva, (topología rollo esférico) y es lo que se conoce como universo cerrado...

5.- En el caso K<0 estaremos ante un universo abierto... expansión acelerada por siempre... (El término que resta en la ecuación se convierte en positivo y... todo a expandirse cada vez más)


Este post es continuación de este otro: Cosmología