Fluido contenido en un casquete esférico

[[Beto]]

Siempre me ha dado curiosidad este problema aunque no se muy bien como plantearlo y supongo que a partir de lo que anotaré a continuación se podrá comprender un poco más el concepto de presión atmosférica y sus implicaciones sobre los cuerpos, bueno la idea es la siguiente:

Imaginen que tienen un recipiente boca abajo sobre el piso con un pequeño orificio en la parte superior (para este hilo consideremos que el recipiente sea un casquete esférico), luego se lo le va agregando un fluido por el orificio mencionado (consideremos por ejemplo agua); obviamente se podrá llenarlo hasta una determinada altura y luego de eso el agua empezará a salir por la parte inferior. Planteado así el problema se me ocurre la siguiente interrogante:

"¿Qué debe de suceder para que salga el agua por abajo y cual seria la altura máxima que alcanzaría el agua en el recipiente?"

Diviértanse con el problemita, se me ocurren algunas cosas que preguntar pero las haré luego de discutir esta primera cuestión planteada.

Saludos.

[alefriz]

Re: Fluido contenido en un casquete esférico

Siempre me ha dado curiosidad este problema aunque no se muy bien como plantearlo y supongo que a partir de lo que anotaré a continuación se podrá comprender un poco más el concepto de presión atmosférica y sus implicaciones sobre los cuerpos, bueno la idea es la siguiente:

Imaginen que tienen un recipiente boca abajo sobre el piso con un pequeño orificio en la parte superior (para este hilo consideremos que el recipiente sea un casquete esférico), luego se lo le va agregando un fluido por el orificio mencionado (consideremos por ejemplo agua); obviamente se podrá llenarlo hasta una determinada altura y luego de eso el agua empezará a salir por la parte inferior. Planteado así el problema se me ocurre la siguiente interrogante:

"¿Qué debe de suceder para que salga el agua por abajo y cual seria la altura máxima que alcanzaría el agua en el recipiente?"

Diviértanse con el problemita, se me ocurren algunas cosas que preguntar pero las haré luego de discutir esta primera cuestión planteada.

Saludos.

Hola,
para que saliese agua por debajo sólo haría falta que el apoyo del casquete esferico con el suelo nu fuese estanco, pero supongo que te refieres al caso en el que si existe estanqueidad entre casquete y suelo.

A medida que vamos llenando el interior del casquete, van apareciendo fuerzas de presión sobre la superficie interior del mismo. La altura que estás preguntando se alcanzará cuando la resultante de esas fuerzas de presión (hacia arriba) sea superior a la suma del peso del casquete y la fuerza de presión atmosférica sobre el casquete.

Esa altura determinará la altura máxima del casquete respecto al suelo... igual es algo mas grande que un casquete y llega a ser media esfera. Habrá que estudiarlo un poco.

[pod]

Re: Fluido contenido en un casquete esférico

A medida que vamos llenando el interior del casquete, van apareciendo fuerzas de presión sobre la superficie interior del mismo. La altura que estás preguntando se alcanzará cuando la resultante de esas fuerzas de presión (hacia arriba) sea superior a la suma del peso del casquete y la fuerza de presión atmosférica sobre el casquete.

Al estar el cascarón abierto, la presión atmosférica actúa tanto dentro como fuera, por lo que todo parece indicar que ésto no debería ser un factor...

[[Beto]]

Re: Fluido contenido en un casquete esférico

Pues yo he pensado algo similar y para que ocurra lo que se menciona en el problema la presión que ejerce el agua sobre el casquete esférico debería de ser la suficiente para poder levantarlo (claro esto siempre y cuando se lo vaya llenando al casquete lentamente de agua como por ejemplo con un gotero).

En cuanto a la formulación matemática para este problema supongo que bastará con descomponer las fuerzas que ejercen presión sobre el casquete y aplicar la condición mencionada, es decir que la suma de todas estas fuerzas sea mayor que el peso del casquete.

Ahora para hacerlo mas interesante si es que el casquete se va llenando con un gotero una vez que este alcance el punto donde el agua empieza a salir, también empezará a oscilar de arriba hacia abajo ¿Cual seria la ecuación que represente este movimiento oscilatorio?

[[Beto]]

Re: Fluido contenido en un casquete esférico

A continuación intentaré encontrar la altura $H$ a partir de la cual el agua empezará a salir por debajo del casquete esférico; para ello haré uso de la siguiente figura:

Teniendo en cuenta ese esquema se puede apreciar que las componentes de la fuerza que ejerce presión en los ejes $X$ y $Z$ se anulan es decir:

$F_x=\int dF\sin\theta=0=F_z$

Luego la única fuerza que "empuja" al casquete hacia arriba es la componente de la fuerza que ejerce presión en eje $Y$:

$\displaystyle F_y=\int PdA\cos\theta=\int_{\arccos(H/r)}^{\pi/2}\rho g(H-r\cos\theta)(2\pi r^2\sin\theta d\theta)\cos\theta$

Entonces:

$\displaystyle F_y=\pi r^2\rho gH \int_{\arccos(H/r)}^{\pi/2}\sin2\theta d\theta -2\pi\rho r^3\int_{\arccos(H/r)}^{\pi/2}\cos^2\theta\sin\theta d\theta$

Resolviendo se obtiene:

$\displaystyle F_y= \pi\rho \left(H^2\sqrt{r^2-H^2}-\frac{2}{3}H^3\right)$

Luego tomando en cuenta que para que no salga el agua por abajo se debe cumplir que $F_y\leq \mbox{peso del casquete}$ se obtiene:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En esta parte me quedo ¿Alguna ayuda? o si me he equivocado en algo agradecería que me lo corrijan.

Pd: me faltaría lo de las oscilaciones pero eso aun no lo he pensado .

[[Beto]]

Re: Fluido contenido en un casquete esférico

Hola denuevo ... para no olvidar este hilo quiero decir que me sigue intrigando eso de las oscilaciones del casquete y también el valor de $H$.