1r ciclo Choques a velocidades relativistas

[Pepealej]

Hola, tengo un par de dudas con los choques a velocidades relativistas.

La primera es corta: Si tengo un choque inelásitco entre 2 partículas que viajan a velocidades relativistas y me preguntan por la masa final, ¿es la masa final la suma de todas las masas que tenía al principio, como ocurre con colisiones a velocidades no relativistas? Se que en un choque inelástico se pierde energía, ¿puede que esta energía perdida se vea reflejada en un defecto de masa? ¿Qué debo hacer en estos casos?

La segunda es en relación al siguiente problema. No se como resolverlo. Si alguien me pudiera echar una mano se lo agradecería: Un pión sin carga se mueve a una velocidad v = 0.98c desintegrándose en dos fotones. Si los dos fotones emergen cada uno de ellos a un lado de la trayectoria del pión con igual ángulo $\theta$, encuentre dicho ángulo y las energías de ambos fotones. Dato: La energía de un pión sin carga es de 135 MeV.

Muchas gracias

[pod]

Re: Choques a velocidades relativistas

Hola, tengo un par de dudas con los choques a velocidades relativistas.

La primera es corta: Si tengo un choque inelásitco entre 2 partículas que viajan a velocidades relativistas y me preguntan por la masa final, ¿es la masa final la suma de todas las masas que tenía al principio, como ocurre con colisiones a velocidades no relativistas? Se que en un choque inelástico se pierde energía, ¿puede que esta energía perdida se vea reflejada en un defecto de masa? ¿Qué debo hacer en estos casos?

Las reglas son algo diferentes. En primer lugar, fíjate que las pérdidas de energía que vemos en las colisiones macroscópicas son debidas a pérdidas por calor, deformaciones, sonido, etc. Todo eso no es posible en el mundo de las partículas; no se puede calentar ni deformar una partícula (por lo menos, sin que deje de ser ella misma). Por lo tanto, siempre se aplicará la conservación de la energía además de la conservación del momento. De hecho, no se si has sido introducido a la notación de cuadrivectores, pero lo que imponemos en colisiones relativistas es la conservación de todo el cuadri-momento (un vector cuadridimensional que ajunta energía y momento en una única entidad matemática).

Otra diferencia es la propia definición de colisión elástica. Decimos que una colisión es elástica si de ella salen las mismas partículas que entran. Es decir, si no se produce ninguna creación ni destrucción de partículas.

La suma de masas, en general, no se conservará. De hecho, la suma de masas es una cantidad que no tiene ningún significado físico en relatividad. Recuerda que (con todas las salvedades relativas a las diferentes interpretaciones históricas de los términos) la masa no es más que la energía que tiene una partícula en su sistema de referencia en reposo. Si tenemos dos partículas, los respectivos sistemas en reposo son diferentes entre si, por lo que si sumamos la masa, en realidad estamos sumando cantidades en sistemas de referencia diferentes, y eso es falta.

La segunda es en relación al siguiente problema. No se como resolverlo. Si alguien me pudiera echar una mano se lo agradecería: Un pión sin carga se mueve a una velocidad v = 0.98c desintegrándose en dos fotones. Si los dos fotones emergen cada uno de ellos a un lado de la trayectoria del pión con igual ángulo $\theta$, encuentre dicho ángulo y las energías de ambos fotones. Dato: La energía de un pión sin carga es de 135 MeV.

Muchas gracias

Como dije antes, lo más útil es utilizar el la notación de cuadrivectores. Sea $\gamma$ el factor relativista correspondiente a la velocidad del pión, entonces podemos escribir (haciendo c = 1 por comodidad)

$$\begin{aligned}<br /> p_\pi^\mu & = (m \gamma, m \gamma v, 0, 0) , \\<br /> p_{\gamma_1}^\mu & = (E, E \cos\theta, E \sin\theta, 0) , \\<br /> p_{\gamma_2}^\mu & = (E, E \cos\theta, - E \sin\theta, 0) ,<br /> \end{algined}$$

Fíjate que aquí ya he puesto algunas simplificaciones que en principio tienes que demostrar. Como el enunciado impone que los fotones tienen que salir con el mismo ángulo, la conservación de la componente en la dirección y (la tercera componente tal y como está puesto ahí) tienen que anularse de forma exacta. Eso implica que ambos fotones tienen exactamente la misma energía. Con eso, te quedan dos ecuaciones con dos incógnitas:

$$\begin{aligned}m \gamma & = 2 E , \\<br /> m \gamma v & = 2 E \cos\theta .<br /> \end{aligned}$$

Puedes resolverlas por ejemplo dividiendo ambas ecuaciones.

Un truco que suele ser útil (aunque en este caso no mucho) es tomar cuadrados en la ley de conservación y aprovecharse del hecho que $p_\mu p^\mu = - m^2$ (y recuerda que eso es cero para los fotones). Por ejemplo,

$$\begin{gathered}<br /> p_\pi^\mu = p_{\gamma_1}^\mu + p_{\gamma_2}^\mu , \\<br /> \Big( p_\pi^\mu \Big)^{\!2} = \Big( p_{\gamma_1}^\mu + p_{\gamma_2}^\mu \Big)^{\!2},\\<br /> \Big( p_\pi^\mu \Big)^{\!2} = \Big( p_{\gamma_1}^\mu\Big)^{\!2} + \Big(p_{\gamma_2}^\mu \Big)^{\!2} + 2 {p_{\gamma_1}_}\mu p_{\gamma_2}^\mu ,\\<br /> -m^2 = 0 + 0 + 2 (-E^2 + E^2 \cos^2\theta - E^2\sin^2\theta) .\\<br /> -m^2 = 2 (-E^2 + E^2 \cos^2\theta - E^2\sin^2\theta) .\\<br /> 2 E^2( \cos 2\theta - 1) + m^2 = 0<br /> \end{gathered}$$

Como dije, al final es más sencillo partir de las ecuaciones de las componentes que de esta, pero en muchos otros problemas sí que es útil.