1r ciclo Delta de Dirac

[guibix]

Muy buenas a todos!

Estaba peleándome con la delta de Dirac para crear una función de onda compleja de una frecuencia pura $\omega_0$ en un espacio continuo de frecuencias. Planteé una igualdad tal que así

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega -\omega_0)e^{i\omega t}\dd\omega =e^{i\omega_0 t}$$

Hasta aquí todo bien (supongo yo ), pero mi duda no va de que hacer con esto (aunque sí quiero confirmar si es correcta la igualdad). Mi duda me surgió de la definición de la delta como

$$\delta(x) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-x^2/a^2}$$

¿Se usa la función gaussiana por algún motivo fundamental y/o práctico o es una elección arbitraria?

Con arbitrario me refiero a que funciones como la secante hiperbólica o $\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2},$ también podrían cumplir el mismo cometido. Sus integrales de menos infinito a infinito de pueden normalizar a 1 todas ellas. También la primera derivada de todas en $x=0$ es .

¿Sería correcto usar cualquiera de ellas indistintamente si se ajustan las constantes?

Como curiosidad además éstas dos son iguales en el límite cuando $a\to 0$

$$\lim_{a \to 0}\frac{1}{a\pi}Sech\left(\frac {x}{a}\right)=\lim_{a \to 0}\frac{1}{a\pi}\frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}}$$

En los dos casos el límite es para $x\neq 0$ y el mismo infinito para $x=0.$

La única diferencia con la delta de Dirac es que tienen un infinito menor, pero sus integrales son 1 para todas tres.

El tema es que sí veo la diferencia matemática, pero no práctica. Como no sé como demostrar más propiedades de la delta de Dirac en éstas dos funciones, no puedo ver si dejan de cumplir en alguna de ellas.

¿Alguna sugerencia de hacia dónde ir o qué propiedad podría no hacerlas aplicables en los mismos problemas que la delta de Dirac?

Gracias y saludo!

[Elkin]

Re: Delta de Dirac

Muy buenas a todos!

Estaba peleándome con la delta de Dirac para crear una función de onda compleja de una frecuencia pura $\omega_0$ en un espacio continuo de frecuencias. Planteé una igualdad tal que así

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega -\omega_0)e^{i\omega t}\dd\omega =e^{i\omega_0 t}$$

Hasta aquí todo bien (supongo yo ), pero mi duda no va de que hacer con esto (aunque sí quiero confirmar si es correcta la igualdad).

Si es correcto, pues de hecho la delta de dirac se define así, claro cambiando la exponencial por cualquier función, en general de omega.

Mi duda me surgió de la definición de la delta como

$$\delta(x) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-x^2/a^2}$$

Bueno esta no es una definición de la delta de dirac, como dije la definición de delta de dirac es con la integral....

¿Se usa la función gaussiana por algún motivo fundamental y/o práctico o es una elección arbitraria?

Con arbitrario me refiero a que funciones como la secante hiperbólica o $\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2},$ también podrían cumplir el mismo cometido. Sus integrales de menos infinito a infinito de pueden normalizar a 1 todas ellas. También la primera derivada de todas en $x=0$ es .

¿Sería correcto usar cualquiera de ellas indistintamente si se ajustan las constantes?

Por supuesto que sería correcto, una función como la función sinc (sinc no seno) también la cumple, sólo hay que hacer algunos toques.

La gaussiana es con la que empiezan algunos libros, yo por ejemplo vi que lo hacían en un libro de óptica, por qué con esta, no lo se con exactitud, pero quizás sea porque esa función se aplique más a la física, y entonces nos sería más fácil captarla, aunque esto último si me lo inventé.

Saludos

[guibix]

Re: Delta de Dirac

Si es correcto, pues de hecho la delta de dirac se define así, claro cambiando la exponencial por cualquier función, en general de omega.

Entonces supongo que sería algo así:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x -x_0)f(x t)\dd x =f(x_0 t)$$

Bueno esta no es una definición de la delta de dirac, como dije la definición de delta de dirac es con la integral....

Vale, pero es raro porqué si se quiere tratar la delta como una función en sí misma, no se puede definir a partir del resultado de la integral definida de su producto con otra función. Parece más una propiedad que una definición. Quiero decir que no queda en forma explícita $\delta(x)\equiv\ldots$, en cambio como límite sí queda en forma explícita

$$\delta(x-x_0)\equiv\lim_{a\to 0}\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-(x-x_0)^2/a^2}$$

Por supuesto que sería correcto, una función como la función sinc (sinc no seno) también la cumple, sólo hay que hacer algunos toques.

Supongo que debe ser precisamente por eso por lo que se usa la definición de la integral, aún así es extraño. También supongo que por eso se dice que no es una función exactamente, porqué imagino que siempre se usa como operador de otra función junto con la integral y nunca como función por si misma. Y el límite de arriba es solo una de las muchas maneras de conseguir que funcione la integral (vaya, que el fin justifica los medios).

De hecho en la Wiki, en Definitions la define con el conjunto de sus propiedades, no como función. Aunque arriba de todo hay un gif animado con el límite ése, dónde sí la trata como función.

Gracias y un saludo.

[pod]

Re: Delta de Dirac

Entonces supongo que sería algo así:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x -x_0)f(x t)\dd x =f(x_0 t)$$

En general,

$$\int_{a}^{b}\!\!\delta(x -x_0)f(x)\dd x =<br /> \left\{<br /> \begin{array}{cl}<br /> f(x_0) & \text{si}\ a < x_0 < b , \\<br /> 0 & \text{en cualquier otro caso} .<br /> \end{array}\right.$$

Si tomas las a y b a infinito y defines $f(x) = g(x t)$, entonces se llega a lo que pusiste tú.

Esta es una definición informal de la delta. En efecto, se define informalmente como el resultado de una integral definida.

El límite de gausianas no es una definición, es una representación. Existen infinitas representaciones como esta, a partir de cualquier función que cumpla un par de condiciones (que, sinceramente, no recuerdo) se puede hallar una representación de la delta.

Para una definición formal, es necesario introducir una teoría matemática nueva, que se conoce con el nombre de "teoría de distribuciones", o a veces "teoría de funciones generalizadas".

Una distribución o función generalizada es una aplicación lineal entre el espacio de "funciones test" y los números reales (o complejos si uno quiere). Es decir, es una aplicación que a cada función test le hace corresponder un número real. Una función test no es más que una función normal y corriente, sólo que debe cumplir unas condiciones de continuidad, derivabilidad y convergencia en el infinito bastante fuertes. La delta de Dirac es una distribución que a cada función test, f(x), le hace corresponder el número f(0):

$$\delta : f \mapsto f(0) .$$

Llegados a este punto, surgen dos preguntas: ¿qué tiene todo esto que ver con la integral que sale en la definición informal de la delta? ¿Y por qué las distribuciones se llaman funciones generalizadas? Empecemos por responder la segunda pregunta, la primera vendrá sola. Resulta que dada una función normal g(x), siempre que cumpla condiciones y todo eso (no tan estrictas como las de las funciones test), es posible construir una distribución $T_g$ de la siguiente forma:

$$T_g : f \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} \!\! \dd x\ g(x) f(x) .$$

Fíjate que esto cumple la definición: a cada función test f, la distribución $T_g$ le hace corresponder un número real, que se calcula mediante una integral. Esa integral siempre converge gracias a las propiedades de continuidad y comportamiento en el infinito que se exigen a las funciones test.

Ahora bien, este método nos permite definir distribuciones dada una función normal. Pero nadie dice que todas las distribuciones puedan escribirse de esa forma. En particular, no existe ninguna función g(x) bien definida tal que $T_g$ sea la distribución delta de Dirac. Sin embargo, si dicha función existiera, tendría la propiedad que hemos comentado al principio. Luego, esta construcción nos permite hablar informalmente de la delta de Dirac como una función con esa propiedad. Repito, informalmente, porque no existe una función bien definida que tenga esa propiedad. La definición formal requiere ir al mundo de las distribuciones.

Por otra parte, aunque no exista una función que tenga esa propiedad, si hay infinitas formas de representarla mediante límites. Una representación de este tipo implica realizar la integral con una función g(x,a) (multiplicada por la función test), el resultado obviamente es una función I(a). Pues bien, si $\lim\limits_{a\to\infty} I(a) = f(0)$, entonces este límite reproduce (representa) la delta de Dirac. Fíjaos que el límite sólo tiene sentido después de hacer la integral, no antes: si hacemos el límite de las gausianas antes de integrar nos saldría algo que diverge en x=0.

[guibix]

Re: Delta de Dirac

Ostas! Gracias Pod! Ha sido muy clarificador.

Ya empiezo a vislumbrar las naves en llamas más allá de Orión. Aunque aún más allá haya infinitamente más por ver, lo reservo para otros hilos

Salud y gracias!

[pod]

Re: Delta de Dirac

Ostas! Gracias Pod! Ha sido muy clarificador.

Ya empiezo a vislumbrar las naves en llamas más allá de Orión. Aunque aún más allá haya infinitamente más por ver, lo reservo para otros hilos

Salud y gracias!

Ahora que estoy en casa puedo mirar en los apuntes el teorema de representaciones de la delta. Sea f(x) continua a trozos, integral normalizada a 1 y absolutamente integrable (es decir, la integral a todos los reales del valor absoluto converge; no es inmediato de lo anterior ya que la integral puede ser 1 pero haber cancelación entre trozos positivos y negativos). Construimos la función asociada $f_a (x) = a f(a x)$, que nos permite definir la distribución $T_{f_a}$ de la forma que describí antes. Entonces, el límite de esa distribución cuando $a\to\infty$ (hay una definición de límite de distribuciones análoga al límite de funciones) es la distribución delta

$$\delta = \lim_{a\to\infty} T_{f_a}.$$

Puedes encontrar la relación de este teorema con el límite de las gausianas haciendo $a \to 1/a$.