Divulgación Campo Electrico de un Disco Cargado Uniformemente

[Alekzander]

Un disco de Radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme ${\sigma}$, calcule el campo electrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje central perpendicular del disco y a una distancia z de su centro.



solucion:

1. consideremos al disco como una coleccion de anillos concentricos de grosor despreciable
2. se toma un elemento diferencial de carga ${dq}={\sigma}{ds}$
3. de la ecuacion de campo electrico para un elemento diferncial de carga se tiene que:

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donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es el vector que indica la direccion del campo

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

${\theta}$ este angulo es el que se forma entre "r" y "z" aunque no esta explicito en la imagen, por lo cual

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

por lo que la expresion de campo electrico debido al diferencial de carga nos habra de quedar de la siguiente forma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

el [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que aparece misteriosamente en los radicales es el radio que ve el elemento diferencial de carga.

4. haciendo uso de las coordenadas cilindricas se selecciona un elemento diferencial de superficie que corresponda con la forma geometrica
de nuestra distribucion, el cual es un Disco situado en el plano XY por lo que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

por ultimo tenemos que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por lo que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

5. realizamos las sustituciones correspondientes para obtener la siguiente expresion para el campo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

6.para obtener el campo neto en el punto P debido a la contribucion de todos los elementos difernciales se integra en ambos lados de la ecuacion:

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[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

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7. dado que $\dst{d\phi}$ representa la variacion del angulo acimutal, este varia desde $\dst{0}\leqslant{\phi}\leqslant{2\pi}$, de igual forma [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es constante y puede salir de ambas integrales, por lo que nuestra expresion de campo electrico queda de la siguiente forma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

8. se procede a resolver la integral. mediante el procedimiento de sustitucion de variables

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] derivando respecto a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] resulta

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] realizando las sustituciones correspondientes se obtiene que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

9. al resolver esta integral nos queda la siguiente expresion:

$\dst{E}={kez\pi}{\sigma}\dst\left[ {\frac{2}{\sqrt{U} }} \right]_0^R$

10. recordemos que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

11. dado que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] podemos simplificar el termino a la izquierda del cociente entre las llaves

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

12. evaluamos en los limites correspondientes para obtener la expresion de campo electrico que se desea

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

espero haya quedado clara la resolucion.

saludes

[Al2000]

Re: Campo Electrico de un Disco Cargado Uniformemente

Si dices desde un principio, y lo muestras en el gráfico, que vas a usar elementos de área en forma de anillo, entonces evita la integral doble escribiendo de una vez que $dq = \sigma \,ds = \sigma \cdot 2 \pi R'\, dR' = 2 \pi \sigma R'\, dR'$ y usa el campo del anillo, $\dst d\vec E = \frac {dq} {4 \pi \epsilon_0} \frac z {[z^2 + (R')^2]^{3/2}}\, \hat z$. Caso contrario, pues di simplemente que vas a resolver el problema en coordenadas cilíndricas y usa el elemento de área correspondiente (el que usaste en el desarrollo). Tendrías que justificar además por qué estás ignorando las componentes $r$ y $\phi$ del campo del elemento de carga, o plantear las integrales y mostrar que se anulan.

Saludos,

Al