Divulgación Campo Electrico de un Disco Cargado Uniformemente

[Alekzander]

Un disco de Radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme ${\sigma}$, calcule el campo electrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje central perpendicular del disco y a una distancia z de su centro.



solucion:

1. consideremos al disco como una coleccion de anillos concentricos de grosor despreciable
2. se toma un elemento diferencial de carga ${dq}={\sigma}{ds}$
3. de la ecuacion de campo electrico para un elemento diferncial de carga se tiene que:

$\dst{dE}={ke}{\frac{dq}{r^2}}{r^'}$

donde ${r^'}$ es el vector que indica la direccion del campo

${r^'} = {cos\theta}$

${\theta}$ este angulo es el que se forma entre "r" y "z" aunque no esta explicito en la imagen, por lo cual

$\dst{r^'} = {\frac{z}{\sqrt{{z}^{2 }+{R^'}^{2}} }}$

por lo que la expresion de campo electrico debido al diferencial de carga nos habra de quedar de la siguiente forma:

$\dst{dE}={ke}{\frac{{\sigma}{ds}}{r^2}}{{\frac{z}{\sqrt{{z}^{2 }+{R^'}^{2}} }}}$

el ${R^'}$ que aparece misteriosamente en los radicales es el radio que ve el elemento diferencial de carga.

4. haciendo uso de las coordenadas cilindricas se selecciona un elemento diferencial de superficie que corresponda con la forma geometrica
de nuestra distribucion, el cual es un Disco situado en el plano XY por lo que:

$\dst{ds}={R^'}{dR^'}{d\phi}$

por ultimo tenemos que $\dst{r}=\sqrt{{z}^{2}+{R^'}^{2 }}$ por lo que $\dst{r^2} = ({z}^{2}+{R^'}^{2 })$

5. realizamos las sustituciones correspondientes para obtener la siguiente expresion para el campo:

$\dst{dE}={ke}{\frac{{dq}{{R^'}{dR^'}{d\phi}}}{({z}^{2}+{R^'}^{2 }) }}{{\frac{z}{\sqrt{{z}^{2 }+{R^'}^{2}} }}}$

6.para obtener el campo neto en el punto P debido a la contribucion de todos los elementos difernciales se integra en ambos lados de la ecuacion:

${\int\dst{dE}}={ke}{\dst\int_0^{2\pi} \int_0^R{\frac{{{\sigma}{R^'}{dR^'}{d\phi}}}{({z}^{2}+{R^'}^{2 }) }}{{\frac{z}{\sqrt{{z}^{2 }+{R^'}^{2}} }}}}$

${\int\dst{dE}}={ke}{\dst\int_0^{2\pi} \int_0^R{\frac{{{\sigma}{R^'}{dR^'}{d\phi}}}{({z}^{2}+{R^'}^{2 }) }}{{\frac{z}{\sqrt{{z}^{2 }+{R^'}^{2}} }}}}$

$\dts{E}={ke}{z}{\dst\int_0^{2\pi} \int_0^R {\frac{{\sigma}{R^'}{dR^'}{d\phi}}{{({z}^{2 }+{R^'}^{2})}^{\frac{3}{2 } } }}}$

7. dado que $\dst{d\phi}$ representa la variacion del angulo acimutal, este varia desde $\dst{0}\leqslant{\phi}\leqslant{2\pi}$, de igual forma $\dts\sigma$ es constante y puede salir de ambas integrales, por lo que nuestra expresion de campo electrico queda de la siguiente forma:

$\dts{E}={ke}{z}{2\pi}{\sigma}{\dst\int_0^R {\frac{{R^'}{dR^'}}{{({z}^{2}+{R^'}^{2})}^{\frac{3}{2} } }}}$

8. se procede a resolver la integral. mediante el procedimiento de sustitucion de variables

$\dst{U}={{z}^{2}+{R^'}^{2}}$ derivando respecto a $\dts{R^'}$ resulta

$\dts{dU}={2R^'}{dR^'}$ realizando las sustituciones correspondientes se obtiene que:

$\dts{E}= {kez2\pi}{\sigma}{\dst\int_0^R {\frac{dU}{2{U}^{\frac{3}{2}}}}}$

$\dts{E}= {kez\pi}{\sigma}{\dst\int_0^R {\frac{dU}{{U}^{\frac{3}{2}}}}}$

9. al resolver esta integral nos queda la siguiente expresion:

$\dst{E}={kez\pi}{\sigma}\dst\left[ {\frac{2}{\sqrt{U} }} \right]_0^R$

10. recordemos que $\dst{U}={{z}^{2}+{R^'}^{2}}$

$\dst{E}={kez\pi}{\sigma}\dst\left[ {{-}\frac{2}{\sqrt{{z}^{2}+{R^'}^{2}} }} \right]_0^R$

11. dado que $\dts{ke}={\dts\frac{1}{4\pi\epsilon}}$ podemos simplificar el termino a la izquierda del cociente entre las llaves

$\dts{E}=\dst{\frac{z\sigma}{4\epsilon}}{\left[ {-}\frac{2}{\sqrt{{z}^{2}+{R^'}^{2}}}\right]_0^R}$

$\dts{E}=\dst{\frac{z\sigma}{2\epsilon}}{\left[ {-}\frac{1}{\sqrt{{z}^{2}+{R^'}^{2}}}\right]_0^R}$

12. evaluamos en los limites correspondientes para obtener la expresion de campo electrico que se desea

$\dts{E}=\dst{\frac{z\sigma}{2\epsilon}}{\left[ {{-}\frac{1}{\sqrt{{z}^{2}+{R}^{2}}}}{-}({{-}\frac{1}{\sqrt{{z}^{2}}}}) \right]}$

espero haya quedado clara la resolucion.

saludes

[Al2000]

Re: Campo Electrico de un Disco Cargado Uniformemente

Si dices desde un principio, y lo muestras en el gráfico, que vas a usar elementos de área en forma de anillo, entonces evita la integral doble escribiendo de una vez que $dq = \sigma \,ds = \sigma \cdot 2 \pi R'\, dR' = 2 \pi \sigma R'\, dR'$ y usa el campo del anillo, $\dst d\vec E = \frac {dq} {4 \pi \epsilon_0} \frac z {[z^2 + (R')^2]^{3/2}}\, \hat z$. Caso contrario, pues di simplemente que vas a resolver el problema en coordenadas cilíndricas y usa el elemento de área correspondiente (el que usaste en el desarrollo). Tendrías que justificar además por qué estás ignorando las componentes $r$ y $\phi$ del campo del elemento de carga, o plantear las integrales y mostrar que se anulan.

Saludos,

Al