Divulgación Volumen esfera

[The Higgs Particle]

Estoy con volúmenes y se me ha ocurrido intentar calcular el volumen de la esfera con ellas, a ver si es correcto:

Se trata de calcular el volumen generado por la función ${y}^{2} + {x}^{2} = {r}^{2}$, sabiendo que el volumen se calcula con la fórmula $V = \pi \cdot {\int}_{b}^{a} {[f(x)]}^{2} dx$.

En este caso, $f(x) = \pm \sqrt{{r}^{2} - {x}^{2}}$. Claramente se ve que $Dom f \equiv [-r, r]$. Y se ve también que podemos dividirlo en dos funciones: ${f}_{1} (x) = \sqrt{{r}^{2} - {x}^{2}}$ y ${f}_{2}(x) = - \sqrt{{r}^{2} - {x}^{2}}$.

En este dibujo se muestra esta idea para $r = 1$. En rojo, ${f}_{1} (x) = \sqrt{1 - {x}^{2}}$; en verde, ${f}_{2} (x) = - \sqrt{1 - {x}^{2}}$:

El volumen generado podemos decir entonces que es, generalizando: $V = \pi \cdot {\int}_{-r}^{r} ({\sqrt{{r}^{2} - {x}^{2}}})^{2} dx$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $= 2 \pi {r}^{3} -\frac{2 \pi {r}^{3}}{ 3} = (6 \pi {r}^{3} - 2 \pi {r}^{3}) / 3$. Por lo tanto:

$\boxed{V = \frac{4 \pi {r}^{ 3}}{3}}$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Weip]

Re: Volumen esfera

Perfecto. Por ser tiquismiquis: no le saques el dominio a algo que no es una función ($f(x) = \pm \sqrt{{r}^{2} - {x}^{2}}$).

[The Higgs Particle]

Re: Volumen esfera

¿Tendría que se entonces $Dom {f}_{1} (x) = Dom {f}_{2} (x)$; siendo $Dom {f}_{1} \equiv [-r, r]$?

Muchas gracias, Weip!

[Weip]

Re: Volumen esfera

¿Tendría que se entonces $Dom {f}_{1} (x) = Dom {f}_{2} (x)$; siendo $Dom {f}_{1} \equiv [-r, r]$?

Muchas gracias, Weip!

Exactamente.

[beliytxuri]

Re: Volumen esfera

Una sugerencia a futuro: para el cálculo de este tipo de volúmenes, mejor y más rápido el uso de las coordenadas esféricas.
En coordenadas cartesianas , en cuanto se complica un tantín la superficie, resultan integrandos radicales que no hay Dios que los domine.
Y, además, lo bueno si breve, dos veces bueno.
Por lo demás, el cálculo es impecable.

[Reifeen]

Re: Volumen esfera

Por curiosidad, ¿cómo se demostraría por esta vía el volumen de un casquete esférico? ¿Sería más sencillo que por coordenadas esféricas al no tener que liarte con los ángulos?

[alexpglez]

Re: Volumen esfera

El volumen de un casquete esférico por esta vía se podría obtener simplemente por pitágoras obteniendo una relación entre la altura a la que cortes un casquete esférico y la longitud del radio de la base del casquete, para a partir de ahí integrarlo como a cualquier sólido de revolución. Aquí está la demostración: http://es.wikipedia.org/wiki/Casquete_esf%C3%A9rico

[Reifeen]

Re: Volumen esfera

El volumen de un casquete esférico por esta vía se podría obtener simplemente por pitágoras obteniendo una relación entre la altura a la que cortes un casquete esférico y la longitud del radio de la base del casquete, para a partir de ahí integrarlo como a cualquier sólido de revolución. Aquí está la demostración: http://es.wikipedia.org/wiki/Casquete_esf%C3%A9rico

Bendita WikiPedia, lo que no se encuentre en ella...

Viendo esta demostración se me está ocurriendo una solución a la duda que tengo publicada en este mismo subforo, pero no sé si es una ida de olla fruto de la desesperación o si tiene fundamentos matemáticos.

¿Si tengo las áreas de dos segmentos circulares, puedo integrar en una línea para sacar el volumen de un cilindro seccionado?