1r ciclo energia potencial cubo

[Emilio Ortega]

se coloca una carga Q en cada esquina de un cubo de lado l

a) cual es la energia potencial total del sistema

DATO: se sabe que el potencial en cualquier esquina debido a las otras 7 cargas es
$\displaystyle\[{V_{esq}} = \frac{{kQ}}{l}\left[ {3 + \frac{3}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]% MathType!MTEF!2!1!+-<br /> % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br /> % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br /> % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br /> % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br /> % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvamaaBa<br /> % aaleaacaWGLbGaam4CaiaadghaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG<br /> % RbGaamyuaaqaaiaadYgaaaWaamWaaeaacaaIZaGaey4kaSYaaSaaae<br /> % aacaaIZaaabaWaaOaaaeaacaaIYaaaleqaaaaakiabgUcaRmaalaaa<br /> % baGaaGymaaqaamaakaaabaGaaG4maaWcbeaaaaaakiaawUfacaGLDb<br /> % aaaaa!457A!<br /> \]$
Yo sé que la energia potencial de un sistema de 3 cargas por ejemplo se hace con la formula $\dst \[U = \frac{{k{Q_1}*{Q_2}}}{{{r_{12}}}}% MathType!MTEF!2!1!+-<br /> % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br /> % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br /> % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br /> % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br /> % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyvaiabg2<br /> % da9maalaaabaGaam4AaiaadgfadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGG<br /> % QaGaamyuamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaOqaaiaadkhadaWgaaWcba<br /> % GaaGymaiaaikdaaeqaaaaaaaa!3FAD!<br /> \]$, entonces para 3 cargas seria $\dst \[U = \frac{{k{Q_1}*{Q_2}}}{{{r_{12}}}} + \frac{{k{Q_1}*{Q_3}}}{{{r_{13}}}} + \frac{{k{Q_2}*{Q_3}}}{{{r_{23}}}}% MathType!MTEF!2!1!+-<br /> % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br /> % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br /> % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br /> % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br /> % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyvaiabg2<br /> % da9maalaaabaGaam4AaiaadgfadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGG<br /> % QaGaamyuamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaOqaaiaadkhadaWgaaWcba<br /> % GaaGymaiaaikdaaeqaaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaam4Aaiaadgfa<br /> % daWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGGQaGaamyuamaaBaaaleaacaaIZa<br /> % aabeaaaOqaaiaadkhadaWgaaWcbaGaaGymaiaaiodaaeqaaaaakiab<br /> % gUcaRmaalaaabaGaam4AaiaadgfadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGcca<br /> % GGQaGaamyuamaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaOqaaiaadkhadaWgaaWc<br /> % baGaaGOmaiaaiodaaeqaaaaaaaa!5139!<br /> \]$pero aqui si son 8 cargas serian 28 veces que tendria que usar la fórmula, por eso quería ver si hay una forma mas rápida, además por algo me dan esa info del potencial en la esquina, gracias de ante mano

[Al2000]

Re: energia potencial cubo

Bueno, puedes hacer un cálculo simplificado aprovechando que todas las cargas son iguales y la regularidad del cubo. Tendrías el factor $k Q^2$ que multiplica a la suma de los inversos de todas las posibles distancias entre cargas. Estas últimas se corresponden con las doce aristas del cubo mas las doce diagonales de cara mas las cuatro diagonales del cubo, para un total de veintiocho términos agrupados como tres sumandos.

El dato que te dan es para hacer un cálculo mas simple aún; la energía potencial de una colección de cargas puntuales se puede calcular como la mitad de la suma del producto de cada carga por el potencial que producen las demás cargas en su ubicación.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Emilio Ortega]

Re: energia potencial cubo

El dato que te dan es para hacer un cálculo mas simple aún; la energía potencial de una colección de cargas puntuales se puede calcular como la mitad de la suma del producto de cada carga por el potencial que producen las demás cargas en su ubicación.

Hola gracias por responder, si tienes razon con eso de la mitad que me dijiste si da el mismo resultado, pero con esta otra forma del factor k no te entendí muy bien, podrías explicarme un poco mejor esto para entender este método también, gracias

Bueno, puedes hacer un cálculo simplificado aprovechando que todas las cargas son iguales y la regularidad del cubo. Tendrías el factor $k Q^2$ que multiplica a la suma de los inversos de todas las posibles distancias entre cargas. Estas últimas se corresponden con las doce aristas del cubo mas las doce diagonales de cara mas las cuatro diagonales del cubo, para un total de veintiocho términos agrupados como tres sumandos.

[Al2000]

Re: energia potencial cubo

Al hacer la suma de los diferentes términos, como todas las cargas son iguales, te queda $k Q^2$ multiplicando cada sumando y por consiguiente lo puedes factorizar. También sale como factor común el lado del cubo:

$$U = k Q^2 \left(\underbrace {\frac {12} l}_\text {aristas} + \underbrace {\frac {12}{\sqrt 2\, l}}_\text {diag. caras} + \underbrace {\frac 4 {\sqrt 3\, l}}_\text {diag. cubo}\right) = \frac {4 k Q^2} l \left(3 + \frac 3 {\sqrt 2} + \frac 1 {\sqrt 3}\right)$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$