1r ciclo Dinámica de Rotación

[The Higgs Particle]

Si tenemos un disco (M) que gira sobre un eje horizontal y sobre él aparece enganchamos una masa m, inicialmente a una altura R, ¿cuál será la velocidad angular en el momento en el que la masa llega a la parte inferior del disco, si parte del reposo?

¿Son estos procedimientos correctos?

1. Tratar al sistema como dos partículas aisladas (centro de masas, CM):
Poniendo el cero de energía potencial en la parte baja del disco. Por conservación de la energía:

$E_m(0)=E_m(f) \to mgR + MgR= \frac{1}{2}I_M (\omega )^2 + \frac{1}{2}m(\omega R)^2 +MgR$

2. Tratarlo como un todo:

$E_m(0)=E_m(f) \to \left( M_{CM} \right)gR = \frac{1}{2}(M_{CM})(\omega R)^2 + \left( M_{CM} \right)g(R-h)$ (1)

En este caso, hay una rotación del CM respecto al eje de giro, pues la masa m desplaza al propio CM – aunque sea ligeramente – del centro geométrico del disco. Por lo tanto, si lo trato como a un sólido rígido, la energía cinética final sería, aplicando el Th. Steiner:

$\frac{1}{2}\left( I_{CM} \right) \omega^2 = \frac{1}{2} (\left( I_{CM} \right) +\left( M_{CM} \right)h^2) \omega^2$

Por lo que podríamos haber puesto en (1):

$\left( M_{CM} \right)gR = \frac{1}{2} (\left( I_{CM} \right) +Mh^2) \omega^2 + \left( M_{CM} \right)g(R-h)$

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de Rotación

Hola THP en

$E_m(0)=E_m(f) \to \left( M_{CM} \right)gR = \frac{1}{2}(M_{CM})(\omega R)^2 + \left( M_{CM} \right)g(R-h)$

interpreto que h no es la altura que se mueve todo el centro de masa es solo lo que se mueve la masa m , por lo que debes calcular bien esa altura,

suponiendo el 0 tangente al nivel inferior del disco

$hcm _i =\dfrac{RM+Rm}{M+m}=R$

$hcm _f =\dfrac{RM}{M+m}$

por lo que la ultima formula no sería correcta

yo solo usaria el balance energetico con esta diferencia de alturas en la energia potencial y no involucraria al teorema de Steiner, solo calcularia el momento de inercia de la masa m al girar con un radio R sobre un centro fijo, que es $mR^2$ y se la sumo el momento de inercia del disco $\frac 12 MR^2$ , esta suma de ambos por la mitad del cuadrado de la velocidad angular corresponderia a la energia cinetica de rotación.

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Dinámica de Rotación

Perdona por no haber puesto esta imagen antes: $h$ para mí representa la distancia del CM al centro del disco:

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de Rotación

Ok nada que perdonar fui yo el que no te entendí.
De ese modo $hcm_f=R-h\neq h$

Entonces por energías
$(M+m)gR=(M+m)g(R-h)+\frac 12(\frac 12 MR^2+mR^2)\omega^2$

[The Higgs Particle]

Re: Dinámica de Rotación

Entiendo lo que has hecho, pero la verdad es que me gustaría saber si la otra forma - aunque más complicada y larga - es también válida, sólo para saber si estoy entendiendo la teoría:

En la energía cinética final, en vez de poner lo que has puesto:

$E_k = \dst \frac{1}{2}\left( (I_{M}) + mR^2 \right) \omega^2$

¿Podría haber puesto esto?

$E_k = \dst \frac{1}{2}I \omega^2 = \frac{1}{2}(I_{CM}+M_{CM}h^2) \omega^2$

donde $I_{CM}=Mh^2 +m(R-h)^2$

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de Rotación

El teorema de Steiner se aplica cuando al mismo solido rígido le cambias el eje de de rotación, pero aquí el eje es el mismo en las posiciones inicial y final. No se ha movido el eje solo el CM respecto de ese mismo eje y al estar rotado el momento de inercia es el mismo , ni ha variado
No se si eso responde a tu pregunta .
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Steiner

[The Higgs Particle]

Re: Dinámica de Rotación

El teorema de Steiner se aplica cuando al mismo solido rígido le cambias el eje de de rotación, pero aquí el eje es el mismo en las posiciones inicial y final. No se ha movido el eje solo el CM respecto de ese mismo eje y al estar rotado el momento de inercia es el mismo , ni ha variado
No se si eso responde a tu pregunta .
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Steiner

¿Puedo, entonces, concluir que el Th. Steiner sólo es aplicable cuando un sistema se encuentra inicialmente girando alrededor de un eje que pasa por el CM y, por alguna razón, pasa a girar alrededor de otro paralelo (o viceversa)?

[pod]

Re: Dinámica de Rotación

¿Puedo, entonces, concluir que el Th. Steiner sólo es aplicable cuando un sistema se encuentra inicialmente girando alrededor de un eje que pasa por el CM y, por alguna razón, pasa a girar alrededor de otro paralelo (o viceversa)?

Eso es lo que dice el teorema: relaciona un eje que pasa por el CM con otro diferente paralelo a él.

Si tu quieres relacionar dos ejes que no pasan por el CM, entonces tienes que aplicar dos veces el teorema: primero pasas a un eje imaginario, paralelo a los otros dos, que pase por el CM; y de ese eje pasas al que realmente te interesa. Observa que el resultado de este doble paso no es el mismo que si aplicaras el teorema directamente (lo que sería un error).

[skynet]

Re: Dinámica de Rotación

....¿cómo estáis seguros de que no se produce ninguna perdida de energía durante el enganche?.

yo creo que primero hay que aplicar la conservación del momento angular entre los instantes antes y justo después del enganche......y luego es cuando puede aplicarse la conservación de la energía entre los instantes después del enganche y cuando el peso está en la parte más baja.

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de Rotación

....¿cómo estáis seguros de que no se produce ninguna perdida de energía durante el enganche?.

O hay una parte del problema que no veo, no se como surge la idea de considerar que hay cambios de eje de rotacion o un enganche?

Yo solo veo un eje de rotación en este problema y siempre esta en la misma posicion a una altura R (parte superior del segmento celeste entrante o saliente de la pantalla), la particula de masa m tiene momento de inercia propio a su CM igual a 0 ṕor ser una masa puntual, al referirlo al eje de rotacion este queda $mR^2$ aplicando así el teorrema de Steiner y a este momento de inercia se le suma el del disco$\frac 12 MR^2$ que permanece inalterado ante la rotación sobre su CM. Es por ello que le indicaba que no es necesario aplicar Steiner nuevamente aunque el CM del conjunto se mueva hasta la posición inferior, y lo que no se mueve es el eje de giro por lo que su momento de inercia de la figura se calcula solo una vez.

[skynet]

Re: Dinámica de Rotación

O hay una parte del problema que no veo, no se como surge la idea de considerar que hay cambios de eje de rotacion o un enganche?

......cambios en el eje de rotación no, pero enganche sí......el enunciado dice "enganchamos una masa"

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de Rotación

......cambios en el eje de rotación no, pero enganche sí......el enunciado dice "enganchamos una masa"

[/QUOTE]
si tienes razón, pero "si parte del reposo", parte ya enganchada, no cambia el momento de inercía del conjunto durante todo el giro, a eso me refería. Saludos