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Hilo: Transformada de Laplace

  1. #1
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    Post Transformada de Laplace

    Resolver el siguiente EDO por transformada de laplace

    y´´ + y = cos t

    y(0)=0

    y´(0)=-1

    Bueno yo e hecho esto:


    {s}^{2 } Y(s) - sy (0) - y´ (0)+sY = \frac{s}{{s}^{2 } +1}

    {s}^{2 }Y(s) +1 + Y(s) = \frac{s}{{s}^{2 } +1}


    ({s}^{2 }+1) Y(s)=  \frac{s}{{s}^{2 } +1} -1

    Y(s) = \frac{{-s}^{ 2}+s-1}{({s}^{ 2}+1{)}^{ 2} }

    Hasta ahí solamente e llegado,y ya no se que hacer amigos

  2. #2
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    Predeterminado Re: Transformada de Laplace

    Cita Escrito por Enrique Ortiz Martinez Ver mensaje
    Resolver la siguiente EDO por transformada de Laplace

    y'' (t)+ \ y(t)=\cos \ t

    y(0)=0

    y' (0)=-1

    Hasta ahí solamente he llegado, y ya no se que hacer:

    s^2 Y+s \cdot 0+1+Y=\dfrac s{s^2+1}

    Y(s)=\dfrac{{-s}^{ 2}+s-1}{({s}^{ 2}+1{)}^{ 2} }
    Operando

    Y(s)=\dfrac{{-s}^{2}+s-1}{({s}^{2}+1{)}^{2}}=\dfrac{-(s^2+1)+s}{({s}^{2}+1{)}^{2}}=-\dfrac 1 {s^2...

    La antitransformada del primer sumando es inmediata es

    \mathcal L^{-1}\left [-\dfrac 1 {s^2+1}\right ]=-\sin t

    La antitransformada del segundo sumando creo que se puede hacer mediante el producto de convolución.

    Y también se puede hacer aplicando la propiedad de que si se conoce \mathcal L [f(t)]=F(s) entonces:

    \mathcal L \left[t \cdot f(t) \right ]=-\dfrac d{ds}F(s)

    Hacemos que f(t)=\sin t y mirando en una tabla de transformadas, vemos que la transformada del seno es:

    F(s)=\dfrac 1 {s^2+1}

    Derivando y aplicando la propiedad (1) sale que la antitransformada del segundo sumando es

    \mathcal L^{-1}\left [\dfrac s{(s^2+1)^2}\right ]=\dfrac 1 2 \ t \ \sin t

    Por lo tanto el resultado final

    y(t)=-\sin t+\dfrac 1 2 \ t \ \sin t

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 18/07/2017 a las 11:44:03. Razón: LaTeX
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  3. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Enrique Ortiz Martinez (19/07/2017)

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