1r ciclo Transformada de Laplace

[Enrique Ortiz Martinez]

Resolver el siguiente EDO por transformada de laplace

$y$´´ $+ y$ $=$ $cos t$

$y(0)=0$

$y$´$(0)=-1$

Bueno yo e hecho esto:


${s}^{2 } Y(s)$ $- sy (0) - y$´ $(0)+sY$$= \frac{s}{{s}^{2 } +1}$

${s}^{2 }Y(s) +1 + Y(s)$ $= \frac{s}{{s}^{2 } +1}$


$({s}^{2 }+1) Y(s)$= $\frac{s}{{s}^{2 } +1}$ $-1$

$Y(s) =$ $\frac{{-s}^{ 2}+s-1}{({s}^{ 2}+1{)}^{ 2} }$

Hasta ahí solamente e llegado,y ya no se que hacer amigos

[Alriga]

Re: Transformada de Laplace

Resolver la siguiente EDO por transformada de Laplace

$y$'' $(t)+ \ y(t)=\cos \ t$

$y(0)=0$

$y$' $(0)=-1$

Hasta ahí solamente he llegado, y ya no se que hacer:

$s^2 Y+s \cdot 0+1+Y=\dfrac s{s^2+1}$

$Y(s)=\dfrac{{-s}^{ 2}+s-1}{({s}^{ 2}+1{)}^{ 2} }$

Operando

$Y(s)=\dfrac{{-s}^{2}+s-1}{({s}^{2}+1{)}^{2}}=\dfrac{-(s^2+1)+s}{({s}^{2}+1{)}^{2}}=-\dfrac 1 {s^2+1}+ \dfrac s{(s^2+1)^2}$

La antitransformada del primer sumando es inmediata es

$\mathcal L^{-1}\left [-\dfrac 1 {s^2+1}\right ]=-\sin t$

La antitransformada del segundo sumando creo que se puede hacer mediante el producto de convolución.

Y también se puede hacer aplicando la propiedad de que si se conoce $\mathcal L [f(t)]=F(s)$ entonces:

$$\mathcal L \left[t \cdot f(t) \right ]=-\dfrac d{ds}F(s)$$

Hacemos que $f(t)=\sin t$ y mirando en una tabla de transformadas, vemos que la transformada del seno es:

$F(s)=\dfrac 1 {s^2+1}$

Derivando y aplicando la propiedad (1) sale que la antitransformada del segundo sumando es

$\mathcal L^{-1}\left [\dfrac s{(s^2+1)^2}\right ]=\dfrac 1 2 \ t \ \sin t$

Por lo tanto el resultado final

$$y(t)=-\sin t+\dfrac 1 2 \ t \ \sin t$$

Saludos.