1r ciclo Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

[inakigarber]

Buenas noches;
Leyendo textos de mecánica cuántica (concretamente el de Cohen Tannoudji, página 26), vuelvo a estar perdido en lo referente a la definición de una partícula y los paquetes de ondas. Voy a releer nuevamente el texto que estoy leyendo, pero quisiera antes abrir este hilo con la intención de aclarar ideas a ver si estoy en lo cierto y en caso de no estarlo ir aclarando y resolviendo errores.
Vayamos por partes;
Para la física clásica había una distinción clara entre ondas y partículas, de manera que un objeto que tuviera masa sería una partícula y no una onda. Al extender Louis De Broglie la dualidad onda partícula de la luz a los objetos cuánticos y quedar demostrada esta por los consiguientes experimentos (Clinton Davidson y Lester Germer por una parte y G.P. Thompsom por otra), los objetos cuánticos como electrones, protónes, neutrones, átomos incluso moléculas, presentan propiedades ondulatorias. Son ondas y partículas a la vez.

Supongamos que hiciéramos pasar un haz con un elevado número de electrones a través de de una doble rendija como la de Young, con una película fotográfica al otro extremo, obtendríamos un patrón de interferencia.
Si lanzáramos un único electrón no obtendríamos un patrón de interferencia, sino un simple impacto en la película fotográfica. Ahora bien, si lanzáramos los electrones de uno en uno un elevado número de veces, obtendríamos un elevado número de impactos pero estos estarían concentrados en en una serie de zonas que coincidirían con el patrón de interferencia obtenido inicialmente. Hasta donde entiendo, la mecánica cuántica no nos dice donde va a impactar el siguiente electrón, sino donde es más o menos probable que impacte, en función de una función de onda que presentará unos máximos, unos mínimos y valores intermedios entre ambos.

¿De que depende dicha función de onda?
Supongo que dependerá del momento lineal de los electrones (Ecuación de De Broglie) y de otros factores tales como el tamaño de las rendijas, la forma de estas, el número de rendijas, las distancias entre ambas y la distancia entre las rendijas y la placa que utilizamos como detector. De manera que podríamos cambiar la función de onda que determina la probabilidad de impacto (o no impacto) del electrón variando a voluntad estos parámetros. Supongo que en mecánica cuántica no podemos hablar de una partícula sin hablar de su función de onda.

Creo que lo que he dicho hasta ahora es cierto.

Sin embargo me pierdo en la definición que hace de los paquetes de onda el mencionado texto.

En un patrón de interferencia obtendré siempre una serie de valores máximos y mínimos repetidos ciclicamente (o al menos eso creo) y que por tanto son susceptibles de descomponerlos en en una serie infinita de de sumatorios de senos y cosenos. Es decir, obtener la serie de Fourier que define dicho patrón de interferencia. Me pierdo cuando menciona la transformada de Fourier;

$$\Psi_{(x,0)}=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)\int{g_{(k)}e^{ikx}dk}$$

Tal vez, en mi ignorancia estoy confundiendo conceptos cuando estoy hablando indistintamente de series y de transformadas de Fourier.
¿Son lo mismo?
Supongo que no, pero no tengo muy clara la diferencia.

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

Tal vez, en mi ignorancia estoy confundiendo conceptos cuando estoy hablando indistintamente de series y de transformadas de Fourier.
¿Son lo mismo?

En realidad tu pregunta es de tipo matemático.

Una serie de Fourier es una suma de funciones armónicas (senos y cosenos) cuyo período es un valor fundamental, $P$ dividido por un número entero positivo

$$S_N(x) = {a_0}/2 + \sum_{n=1}^N \left[{a_n}\cos\left(\dfrac{2\pi nx}{P}\right) + {b_n}\sin\left(\dfrac{2\pi nx}{P}\right)\right]$$

O también, gracias a la fórmula de Euler

$$S_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n\cdot \ee^{i \tfrac{2\pi nx}{P}}$$

El resultado es una función periódica con período $P$. Su importancia radica en que cualquier función periódica continua y acotada se puede expresar como una serie de Fourier, quizá constituida por un número infinito de términos.

La manera de obtener las amplitudes de las componentes armónicas de una función periódica continua y acotada, $f(x)$, de período $P$ es a través de

$$a_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} f(x)\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right)\ \dd x$$

$$b_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} f(x)\cdot \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right)\ \dd x$$

$$c_n = \frac{1}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} f(x)\cdot \ee^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ \dd x$$

Las transformadas de Fourier son una generalización para funciones no necesariamente periódicas. Dicho seguramente con no demasiada corrección, en lugar de pensar que la función está constituida por armónicos de período $P$, $P/2$, $P/3$, etcétera, concebimos la función como una suma de armónicos con todos los períodos posibles, desde 0 hasta infinito.

En realidad la definición no maneja períodos, sino frecuencias angulares, $k=\frac{2\pi}{P}$. Por eso antes de nada vamos a redefinir las series de Fourier usándolas (voy a limitarme a la forma compleja, para enlazar mejor con tu pregunta). En vez de (2)

$$S_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n\cdot \ee^{i\ nkx}$$

y la manera de encontrar los coeficientes para una función periódica es, en vez de (5),

$$c_n = \frac{k}{2\pi}\int_{x_0}^{x_0+2\pi/k} f(x)\cdot \ee^{-i \ nkx}\ \dd x$$

Como te decía antes, el concepto de transformada de Fourier es una generalización. Ahora aceptaremos que las frecuencias angulares pueden tomar cualquier valor y no únicamente $k$, $2k$, $3k$, etc. De esta manera, en vez de (6) ahora haremos

$$f(x)=\int_{-\infty}^\infty g(k)\ee^{ikx}\dd k$$

y en vez de (7)

$$g(k)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ee^{-ikx}\dd x$$

Aclararé que si comparas con lo que has escrito verás que hay un pequeño cambio en un signo menos en el exponente, así como un factor en la integral, que se suele introducir para darle una forma más simétrica a la transformada y su inversa. La transformación que has escrito tú

$$g(k)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ee^{ikx}\dd x$$

se corresponde con la transformación inversa

$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty g(k)\ee^{-ikx}\dd k$$

Con esto quiero decir que el concepto es exactamente el mismo que te acabo de contar.

Fíjate que las $g(k)$ desempeñan un papel análogo a los $c_n$, es decir, son análogos a amplitudes en frecuencia.

Así pues, series de Fourier y transformadas de Fourier son cosas diferentes, pero que guardan cierta relación.

El interés en cuántica es exactamente el mismo que tienen en la mecánica ondulatoria. Por ejemplo, la transformada de Fourier de una señal sonora (piensa en cualquier canción) nos proporciona el espectro en frecuencias que tiene en cada instante la señal. Cuando ecualizamos (potenciamos los graves o los agudos) lo que estamos haciendo es modificar la transformada de Fourier de la canción, y entonces también el sonido de la propia canción. Nuestros oídos hacen magníficas transformadas de Fourier con el sonido (pues diferenciamos bastante bien la composición en frecuencias de los sonidos que escuchamos).

La fórmula que has escrito es semejante: del mismo modo que puedo pensar en cualquier sonido como una composición de infinitos sonidos armónicos, cada uno con su frecuencia, cualquier onda cuántica la puedo imaginar (vía transformada de Fourier) como una composición de infinitas ondas planas, cada una de ellas correspondiente a una longitud de onda y (aquí sí que entra en juego la mecánica cuántica) entonces un momento lineal.

[inakigarber]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

Buenas noches;
He estado unos días apartado de mi ordenador y de este tema, aunque no de la física, pero no quisiera olvidar este tema.

Supongamos que he desarrollado un experimento en el que las posibilidades de encontrarme un electrón en una pantalla viene dado por una campana de Gauss cuya función es esta;
$f_{(x)}=A e^{\left(-\frac{(x-b)^2}{2c^2}\right)}$
Donde A representa la amplitud de la onda, B el desfase de la onda respecto al origen y c la anchura de la onda.

Si limito con precisión la posición del electrón $c=\Delta_x\mapsto 0$, entonces debiera de obtener una gran disparidad de momentos; $\Delta_x\mapsto \infty$, pero no alcanzo a entender como.

[Julián]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

¿Como vas a limitar el momento o la posición? Para eso deberías modificar c

La función es independiente del tiempo.

$\dst \psi (x) * {\psi}^{*} (x) = A*exp(- \frac{{(x-b)}^{2}}{2{c}^{2}})$

$\dst \psi (x) = \frac{A}{\sqrt{2}} (exp(- \frac{{(x-b)}^{2}}{2{c}^{2}}) + i exp(- \frac{{(x-b)}^{2}}{2{c}^{2}}))$



$\dst \psi (x) ={\int}_{- \infty}^{\infty} \frac{ ((1 + i) {e}^{(-(1/2) \beta (-2 i+ \beta)}}{\sqrt{2}}* {e}^{i \beta x} d \beta$

Es decir, $\psi(x)$ puede ser expresada como una combinación lineal de exponenciales complejas ${e}^{i \beta x}$, donde cada una tiene un peso de $\frac{ ((1 + i) {e}^{(-(1/2) \beta (-2 i+ \beta)}}{\sqrt{2}}$

Como cada ${e}^{i \beta x}$ es ortonormal para todo beta, constituye la base de un espacio de hilbert.

$\beta = \frac{2 \pi}{\lambda}$ es el número de onda.

$\dst \frac{ ((1 + i) {e}^{(-(1/2) \beta (-2 i+ \beta)}}{\sqrt{2}} |{e}^{i \beta x}>$

y sabemos gracias a deBroile que

$\dst p = \frac{h}{\lambda} = \frac{ \beta h}{2 \pi} =\hbar \beta$

Como en la combinación lineal $\beta$ está definido desde $(-\infty, \infty)$ Existen infinidad de momentos PERO como puedes ver en la gráfica, los pesos de la combinación lineal $\frac{ ((1 + i) {e}^{(-(1/2) \beta (-2 i+ \beta)}}{\sqrt{2}}$ tienen mayor valor para un cierto rango de números de onda.

Que pasa si a $c->0$. Ahora tomo c=0.01 en vez de 1



Vemos como hay una mayor densidad y por lo tanto



Vemos como los pesos de la la combinación lineal, es decir "el contenido armónico espacial" cambia de densidad, por lo que más localizado el electrón menos localizado el momento (que depende de beta)

Por último hagamos $c \to \infty$. Tomo c=100



Vemos lo inverso, cuanto menos localizado el electrón, más localizado el rango de beta y por lo tanto de momentos.

PD: La ultima gráfica tiene esa magnitud debido a que el rango está entre -10 y 10. Si lo achico a -0.01 a 0.01



Se ve como beta está mas localiza entre -0.01 a 0.01 y tiene más peso en c=100, a diferencia de c=1 (cuyo rango de momentos lo podemos considerar entre $[ -2 \hbar, 2 \hbar ]$) o c=0.01 (cuya rango de momentos lo podemos considerar entre $[ -5 \hbar , 5 \hbar]$

[inakigarber]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

¿Como vas a limitar el momento o la posición? Para eso deberías modificar c

La función es independiente del tiempo....

Totalmente de acuerdo, modificando c, modifico la anchura de la campana, suponiendo que la amplitud de la función respecto al eje x representa la probabilidad de encontrarnos un electrón en una determinada zona, para un valor de c muy grande obtendremos prácticamente una recta, con lo cual podremos encontrarnos al electrón en cualquier lugar. Para un valor de c muy pequeño obtendremos una campana muy pronunciada. He intentado descomponer las frecuencias fundamentales de esta onda (calculando los coeficientes de Fourier), pero no lo he conseguido. Creo que estoy bastante perdido.

- - - Actualizado - - -

[Julián]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

He intentado descomponer las frecuencias fundamentales de esta onda (calculando los coeficientes de Fourier), pero no lo he conseguido. Creo que estoy bastante perdido.

Ahi están. Yo a mano ni en broma los saco, por software si. Pero cuidado, no es una señal periódica sino aperiódica por lo que debes utilizar la transformada de fourier, es decir la serie de fourier cuando el periodo tiende a infinito.

Genéricamente (sin considerar un valor de b, c y A) es esta.



Es decir, beta (numero de onda que tu llamaste anteriormente k) no es discreto sino que está definido en todos los reales.

Totalmente de acuerdo, modificando c, modifico la anchura de la campana, suponiendo que la amplitud de la función respecto al eje x representa la probabilidad de encontrarnos un electrón en una determinada zona

No estoy seguro si entiendes el concepto. Efectivamente el eje horizontal, llamado x es una dimensión espacial, de esta manera beta es 2 pi sobre lambda. Pero la probabilidad la obtienes al integrar el cuadrado del módulo de la función de onda (función de onda por su complemento) en un intervalo $\Delta x$ además debes multiplicar dicha expresión (integral del cuadrado del módulo de la función de onda en un intervalo de x) por el factor normalizador, ya que sin este factor normalizador jamás obtendrías una probabilidad sino que obtendrías posiblemente un número mayor a 1.

Sea

$\dst \psi (x) = \frac{A}{\sqrt{2}} {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}} + i \frac{A}{\sqrt{2}} {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}}$

$\dst \psi (x) * {\psi}^{*} (x) = {A}^{2} {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}}$

La probabilidad de encontrar al electrón en el intervalo (x1 a x2)

$\dst P = \frac{1}{{\int}_{-\infty}^{\infty} \psi (x) * {\psi}^{*} (x) dx}{\int}_{x1}^{x2} \psi (x) * {\psi}^{*} (x) dx$

PD: en el post anterior, consideré

$\dst \psi (x) = \frac{A}{\sqrt{2}} {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}} + i \frac{A}{\sqrt{2}} {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}}$

Y la densidad de probabilidad es:

$\dst \psi (x) * {\psi}^{*} (x) = {A}^{2} {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}}$

Se me pasó que vos primeramente definiste a la densidad de probabilidad como:

$\dst \psi (x) * {\psi}^{*} (x) = A {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}}$

Por lo que la función de onda sería

$\dst \psi (x) = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{2}} {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}} + i \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{2}} {e}^{- \frac{{(x - b)}^{2}}{2 {c}^{2}}}$

Pero como para todos los cálculos y las graficas consideré A=1, no hay variación y la diferencia es una única constante, la amplitud de la onda. En los componentes de la transformada de fourier A lo cambias por raiz de A.

[arivasm]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

He intentado descomponer las frecuencias fundamentales de esta onda (calculando los coeficientes de Fourier), pero no lo he conseguido.

La transformada de Fourier de una gaussiana es también una gaussiana. La demostración directa es un tanto liosa (la alternativa suele pasar por aprovechar propiedades de la gaussiana y de la transformada de Fourier).

He buscado por varios sitios una demostración directa y sencilla y el que más me ha gustado es éste: http://www4.ncsu.edu/~franzen/public.../gaussian.html Está en inglés, e incluso hay algún carácter que (al menos en mi navegador) no se muestra adecuadamente (el Ö es el símbolo de la raíz cuadrada), pero la demostración es muy clarita (si bien usa un truco que seguramente ni se nos pasaría por la cabeza -otra posibilidad es hacer un cambio de variable-).

Además llega de manera clara a la esencia del principio de incertidumbre: al "apretar" una gaussiana (disminuir su varianza) se "afloja" (aumenta la varianza) de su transformada de Fourier.

[inakigarber]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

Gracias a ambos por vuestra ayuda.
He estado leyendo el enlace que me has propuesto, pero me pierdo cuando dice;

The result is
$H_{(p)}=\dfrac{\alpha}{\sqrt{2 \hbar}}e^{(-\dfrac{a^2 k^2}{4})}$
En la formula anterior a esta aparece el término $p^2$ cuando en los anteriores aparece $k^2$. Yo lo he atribuido al principio a un error del autor, pero ahora no estoy seguro. Veo tambien que en el cociente aparece $\sqrt{2 \hbar}$ cuando hasta ahora aparecia $\sqrt{2 \pi}$ ¿es correcto o hay alguna equivocación?

Por otra parte, creo que voy aclarando ideas, aunque aún debo repasar mejor la abundante información que me habéis dado.

1) La serie de Fourier se aplica a un fenómeno cíclico que se repite con una determinada frecuencia.
2) La transformada de Fourier se aplica a un fenómeno que en principio puede no repetirse (un impulso aislado).
3) La transformada de Fourier de una campana de Gauss es otra campana de Gauss (llamemosle inversa) tal que cuando la primera es estrecha la segunda es ancha y viceversa.

Bueno, a ver si acierto en alguna de las afirmaciones.

[arivasm]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

me pierdo cuando dice;

The result is
$H_{(p)}=\dfrac{\alpha}{\sqrt{2 \hbar}}e^{(-\dfrac{a^2 k^2}{4})}$

La idea básica es que la integral que aparece antes, entre $-\infty$ y $+\infty$ es un número. El autor de la demostración lo combina junto con $1/\sqrt{2\pi}$ en una cantidad que expresa como $\alpha/\sqrt{2\hbar}$

En la formula anterior a esta aparece el término $p^2$ cuando en los anteriores aparece $k^2$. Yo lo he atribuido al principio a un error del autor, pero ahora no estoy seguro.

Sí, esa $p$ debería ser $k$.

Por cierto, usto después de "The result is" puede parecer que también sucede lo mismo con $k$ y $p$ que podría despistar un poco. Hay que tener en cuenta que la relación entre el vector de onda y la longitud de onda es $k=2\pi/\lambda$, y que por la ley de De Broglie $\lambda=h/p$, de manera que $k=2\pi p /h=p/\hbar$, es decir, $p$ y $k$ son cantidades proporcionales. Es parecido a escribir $f(x)=8x^2$ y definir $y=2x$: tanto podríamos escribir $f(y)2y^2$, $f(x)=2y^2$ o $f(y)=8x^2$

1) La serie de Fourier se aplica a un fenómeno cíclico que se repite con una determinada frecuencia.

Correcto

2) La transformada de Fourier se aplica a un fenómeno que en principio puede no repetirse (un impulso aislado).

No. También es aplicable a periódicos.

3) La transformada de Fourier de una campana de Gauss es otra campana de Gauss (llamemosle inversa) tal que cuando la primera es estrecha la segunda es ancha y viceversa.

Exacto. ¡Y ésa es la esencia del principio de incertidumbre! (que, como vemos, no debería llamarse principio, sino teorema; la razón por la que mantiene el término "principio" es por su carácter simbólico, como ruptura con la física clásica)

[Julián]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

[FONT=Tahoma]3) La transformada de Fourier de una campana de Gauss es otra campana de Gauss (llamemosle inversa) tal que cuando la primera es estrecha la segunda es ancha y viceversa.[/FONT]

Pero me gustaría aclarar que una función de onda no siempre es una campana de gauss.
Lo que si se demuestra en una serie de fourier es que mientras mayor sea el periodo de la señal menor será el contenido armónico (densidad de armónicos en el dominio de la frecuencia).

$f = \frac{1}{T}$

$\omega = \frac{2 \pi}{T}$

Lo que podemos ver es que:

$\Delta \omega = \frac{2 \pi}{\Delta T}$

Es lógico no, la frecuencia es la inversa del periodo de la señal. O también se puede decir coloquialmente que la frecuencia es lo inverso al tiempo.

En la siguiente imagen se observa eso, donde se muestra la serie de fourier para una señal tren de pulsos con diferentes periodos. A mayor periodo se observa el contenido armónico



La transformada de fourier es una condición donde el periodo de la señal tiende a infinito y por lo tanto la sumatoria de la serie tiende a la integral, que se desprende de la definición de integral

$\dst {\int}_{a}^{b}f(x)dx = {lim}_{\Delta x \to 0} {\sum}_{i=a}^{b} f({x}_{i}) \Delta x$

Es decir, cuando T tiende a infinito tenemos:



Te recomiendo que veas la serie de fourier de un tren de pulsos y el de un único pulso.

En este caso estamos trabajando con una senal independiente del tiempo y dicha relaci'on tambien se cumple

$x= \frac{2 \pi}{k}$

Es decir

$\Delta x= \frac{2 \pi }{\Delta k}$

Cuanto mayor es $\Delta x$ menor es $\Delta k$. Y ahí casi tenemos el principio de incertidumbre, partiendo de la relación del espacio y el número de onda. Pero heisemberg partió de una campana de gauus ya que observó las desviaciones estandar de la distribución de probabilidad.

[inakigarber]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

Muchas gracias a ambos, Creo que aún necesito más para madurar ideas. Si no es problema ¿Podría saber Julián que programa has utilizado para sacar esos gráficos?

[Julián]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

Mathematica, que es el de cabecera para cálculo básico y me gusta para cálculo simbólico. Como podrás ver en mi primer post, tienes una expresión simbólica como la función de onda y la metés en la función FourierTransform y te devuelve la expresión simbólica de la transformada. Luego con un simple Plot o DiscretePlot la graficas.
Específicamente uso mathematica 8, en estos momentos.

El último post, saqué las imágenes de la web. Están hechas en matlab. Otro que uso es matlab, ahí el tema es distinto, si bien se puede trabajar con funciones simbólicas (o mejor dicho cálculo simbólico) ya que todas las distribuciones traen el toolbox de cálculo simbólico, el fuerte de matlab es el cálculo discreto. El cual es bueno ya que los ordenadores trabajan con cálculo discreto y a las expresiones simbólicas la trabajan o con tablas o en forma discreta recordando que una integral es una sumatoria y una derivada una diferencia, etc.

[inakigarber]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

La idea básica es que la integral que aparece antes, entre $-\infty$ y $+\infty$ es un número. El autor de la demostración lo combina junto con $1/\sqrt{2\pi}$ en una cantidad que expresa como $\alpha/\sqrt{2\hbar}$...

Perdón por insistir, pero no comprendo la segunda frase;

Volviendo al archivo que me adjuntaste;
Cuando dice "The result is" aparece;
$H_{(p)}=\dfrac{\alpha}{\sqrt{2 \hbar}}e^{-\dfrac{a^2 k^2}{4}}$
¿No debería aparecer "x" en el exponente?
He intentado resolver la integral inmediatamente anterior, pero no he conseguido hacerlo. No he alcanzado a entender aun el como si la primera campana de Gauss representa la posición la segunda representa al momento.

- - - Actualizado - - -

Pero me gustaría aclarar que una función de onda no siempre es una campana de gauss.
Lo que si se demuestra en una serie de fourier es que mientras mayor sea el periodo de la señal menor será el contenido armónico (densidad de armónicos en el dominio de la frecuencia).
.

Yo también lo entiendo así.

- - - Actualizado - - -

Mathematica, que es el de cabecera para cálculo básico y me gusta para cálculo simbólico. Como podrás ver en mi primer post, tienes una expresión simbólica como la función de onda y la metés en la función FourierTransform y te devuelve la expresión simbólica de la transformada. Luego con un simple Plot o DiscretePlot la graficas.
Específicamente uso mathematica 8, en estos momentos.

El último post, saqué las imágenes de la web. Están hechas en matlab. Otro que uso es matlab, ahí el tema es distinto, si bien se puede trabajar con funciones simbólicas (o mejor dicho cálculo simbólico) ya que todas las distribuciones traen el toolbox de cálculo simbólico, el fuerte de matlab es el cálculo discreto. El cual es bueno ya que los ordenadores trabajan con cálculo discreto y a las expresiones simbólicas la trabajan o con tablas o en forma discreta recordando que una integral es una sumatoria y una derivada una diferencia, etc.

He tratado de hacerme con alguna versión de mathematica o de mathlab pero no lo he conseguido.

[arivasm]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

Empezaré por la segunda pregunta:

Cuando dice "The result is" aparece;
$H_{(p)}=\dfrac{\alpha}{\sqrt{2 \hbar}}e^{-\dfrac{a^2 k^2}{4}}$
¿No debería aparecer "x" en el exponente?

No. La integral se realiza sobre $x$. Es parecido a cuando hacemos, por ejemplo, $\int_2^3 x^2\dd x$. La $x$ no aparece en el resultado. Podrían aparecer otras variables que estén dentro del integrando, pero no la $x$

no comprendo la segunda frase

Llamemos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Fíjate que es una cantidad que no depende de $k$ pues podemos hacer el cambio de variable $y=x+ia^2k/2$ y la integral pasa a ser un número independiente de $k$: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

La expresión anterior a la de tu pregunta es entonces $H(k)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{a^2k^2}{4}\right)I$, que podemos escribir $H(k)= \dfrac{\alpha}{\sqrt{2\hbar}}\exp\left(-\dfrac{a^2k^2}{4}\right)$, donde $\alpha=I\sqrt{\hbar/\pi}$

He intentado resolver la integral inmediatamente anterior, pero no he conseguido hacerlo.

Como acabo de decir, no hace falta resolverla. Es un número.

No he alcanzado a entender aun el como si la primera campana de Gauss representa la posición la segunda representa al momento.

La $H(k)$ representa la distribución de la densidad de probabilidad de las constantes de propagación $k$. Pero como te conté en otro mensaje $p=\hbar k$, con lo que la distribución para $p$ será como la de $k$ haciendo un simple cambio de escala en la variable $k$ (en términos coloquiales, equivale a "estirar" el eje X -el eje $k$- debido a la multiplicación por un número -en este caso $\hbar$-): si $H(k)$ es una gaussiana, $H(p)$ también lo será y además la varianza de ésta será proporcional a la de $H(k)$.

[inakigarber]

Re: Reflexiones sobre ondas, partículas y series de Fourier.

Empezaré por la segunda pregunta:


No. La integral se realiza sobre $x$. Es parecido a cuando hacemos, por ejemplo, $\int_2^3 x^2\dd x$. La $x$ no aparece en el resultado. Podrían aparecer otras variables que estén dentro del integrando, pero no la $x$...

Mi error ha consistido en considerar que la integral definida de una función $f_{(x)}$, es otra función $F_{(x)}$, esto probablemente se cumple siempre en integrales no definidas, pero no necesariamente en integrales definidas. Luego el resultado de la integral es independiente de x.