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Hilo: Limite con numeros combinatorios

  1. #1
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    Predeterminado Limite con numeros combinatorios

    Hola!

    bueno la cosa es q tengo q resolver este limite (las fracciones que no estan en el exponente denotan los numeros combinatorios correspondientes)

    {(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n}{n})}^{1/(n^2)}

    cuando n tiende a infinito

    lo que hice fue tomar logaritmos para bajar el exponente y luego aplicar la regla de stolz. despues de eso me quedo

     \frac{log\frac{n+2}{(n+1)!^2}}{2n+1}

    pero claro lo que acompaña al logaritmo tiende a 0 y log 0 como q lo encuentro raro...

    supongo q el problema habra venido de un error al simplificar los numeros combinatorios puesto que al aplicar Stolz tengo en el numerador

    log{(\frac{n+1}{0}*\frac{n+1}{1}*...*\frac{n+1}{n+1})}-log{(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n}{...

    que pasa a convertirse en

    log{\frac{(\frac{n+1}{0}*\frac{n+1}{1}*...*\frac{n+1}{n+1})}{(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n...

    entonces para simplificarlos lo que he hecho es desenvolupar los numeros combinatorios con lo que tengo (ahora ya son fracciones normales)

    en el numerador:
     
\frac{(n+1)!}{0!(n+1)!}*\frac{(n+1)!}{1!n!}*...*\frac{(n+1)!}{(n+1)!0!}

    es decir

    \frac{(n+2)(n+1)!}{[(n+1)!*...*0!]^2}

    pq hay n+2 terminos (del 0 al n+1) en el producto y los factores del denominador se repiten 2 veces cada uno

    en el denominador:

    \frac{(n)!}{0!(n)!}*\frac{(n)!}{1!(n-1)!}*...*\frac{(n)!}{(n)!0!}

    es decir
     
\frac{(n+1)n!}{[n!*...*0!]^2}

    pq aqui hay n+1 factores (del 0 al n) y tmb se repiten 2 veces los del denominador

    entonces en dividorlo y arreglando los numeradores para tachar un (n+1)! de cada uno y tachando los factores del denominador excepto el (n+1)!^2

    me da que en el logaritmo hay lo que decia antes

     \frac{log\frac{n+2}{(n+1)!^2}}{2n+1}

    y como hay el log(0) que decia no puedo seguir. alguien ve algun error en mi procedimiento o alguna forma alternativa de hacerlo?

    muchisimas gracias!

    PD: la solucion deberia dar e^{1/2}

  2. #2
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    Predeterminado Re: Limite con numeros combinatorios

    Cita Escrito por gunbladecat Ver mensaje
    Hola!

    bueno la cosa es q tengo q resolver este limite (las fracciones que no estan en el exponente denotan los numeros combinatorios correspondientes)

    {(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n}{n})}^{1/(n^2)}

    cuando n tiende a infinito

    lo que hice fue tomar logaritmos para bajar el exponente y luego aplicar la regla de stolz. despues de eso me quedo

     \frac{log\frac{n+2}{(n+1)!^2}}{2n+1}
    Hola, no te entiendo bien ¿podrías anotar los pasos realizados para llegar a ese resultado?

  3. #3
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    Predeterminado Re: Limite con numeros combinatorios

    Cita Escrito por gunbladecat Ver mensaje
    supongo q el problema habra venido de un error al simplificar los numeros combinatorios puesto que al aplicar Stolz tengo en el numerador

    log{(\frac{n+1}{0}*\frac{n+1}{1}*...*\frac{n+1}{n+1})}-log{(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n}{...

    que pasa a convertirse en

    log{\frac{(\frac{n+1}{0}*\frac{n+1}{1}*...*\frac{n+1}{n+1})}{(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n...

    entonces para simplificarlos lo que he hecho es desenvolupar los numeros combinatorios con lo que tengo (ahora ya son fracciones normales)

    en el numerador:
     
\frac{(n+1)!}{0!(n+1)!}*\frac{(n+1)!}{1!n!}*...*\frac{(n+1)!}{(n+1)!0!}

    es decir

    \frac{(n+2)(n+1)!}{[(n+1)!*...*0!]^2}

    pq hay n+2 terminos (del 0 al n+1) en el producto y los factores del denominador se repiten 2 veces cada uno

    en el denominador:

    \frac{(n)!}{0!(n)!}*\frac{(n)!}{1!(n-1)!}*...*\frac{(n)!}{(n)!0!}

    es decir
     
\frac{(n+1)n!}{[n!*...*0!]^2}

    pq aqui hay n+1 factores (del 0 al n) y tmb se repiten 2 veces los del denominador

    entonces en dividorlo y arreglando los numeradores para tachar un (n+1)! de cada uno y tachando los factores del denominador excepto el (n+1)!^2

    me da que en el logaritmo hay lo que decia antes

     \frac{log\frac{n+2}{(n+1)!^2}}{2n+1}
    aki justamente explicaba esto pq ya suponia q es error estaba aqui

  4. #4
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    Predeterminado Re: Limite con numeros combinatorios

    Nada mas queria apuntar que hay un error al copear ese limite y otro que podria decirse como medio error (en otras palabras un error y posiblemente otro). Si se toma como 0! = 1 por definicion (porque \displaystyle \frac{n}{0} no esta definido) entonces existe unicamente un error y este es el de la \displaystyle \frac{1}{n^2} raiz, para obtener e^{\frac{1}{2} , deveria ser la \displaystyle \frac{1}{2n} raiz.

    Para resolver este problema tienes que usar "Stirling's approximation " n! \sim (\sqrt{2 \pi n}) n^n e^{-n} pero en este caso con n! \sim n^n e^{-n} es mas que suficiente.

    \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\frac{n^n}{n!})^{\frac{1}{2n}}

    \Rightarrow\displaystyle \frac{n^n}{n!} \sim \frac{n^n}{n^n e^{-n}}

    \Rightarrow\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\frac{n^n}{n!})^{\frac{1}{2n}} \sim \lim_{n \to \infty} (e^n)^...

    Si en el numerador trabajas con n^{n+1} en vez de n^n y con la aproximacion de Stirling tal y como esta en los libros obtendras el mismo resultado, pero con mas operaciones. En tu caso como escribiste (\displaystyle \frac{1}{n^2} ) raiz en vez de (\displaystyle \frac{1}{2n}) raiz tu resultado sera "1" en vez de "e^{\frac{1}{2}}"

  5. #5
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    Predeterminado Re: Limite con numeros combinatorios

    solo q no son fracciones las del enunciado son numeros combinatorios...

    no se si esq no entendi la utilidad de la aproximacion de stirling en este caso o es q no viste mi aclaracion en el 1r post si es asi sorry...

    cuando pone

    \frac{n}{0} por ejemplo

    me refiero al numero combinatorio n sobre 0 y asi con todos los del enunciado q no estan en es exponente...

  6. #6
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    Predeterminado Re: Limite con numeros combinatorios

    Hola, me parece que has cometido un error por ahí, tienes que tener en cuenta que se cumple que:

    {n+1\choose r+1}=\frac{n+1}{n+1-r}{n\choose r}

    Entonces la parte que va en el interior del logaritmo será:

    \frac{{n+1\choose 0}{n+1\choose 1}\cdots{n+1\choose n+1}}{{n\choose 0}{n\choose 1}\cdots{n\choose...

    Entonces el límite a calcular sería:

    \log L=\lim_{n\to\infty}\frac{\log\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}}{2n+1}


    Última edición por [Beto]; 03/01/2009 a las 20:31:28.

  7. El siguiente usuario da las gracias a [Beto] por este mensaje tan útil:

    gunbladecat (03/01/2009)

  8. #7
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    Predeterminado Re: Limite con numeros combinatorios

    ya mñn por la mñn reviso esta parte pero me da q sera eso... grax N30F3B0 y felicidades por ganar el desafio del 2008!, y todos los q participaron aqui. mñn pongo algo.

    PD: a mi me da que

    \displaystyle {n+1\choose r+1}=\frac{n+1}{r+1}{n\choose r}



    luego, de dnd sale ese n! del interior del logaritmo, a mi me dio (n+1)!? y si sustituyes uno por el anterior no deberia quedarte el 1º libre en vez del ultimo?

    por favor revisalo, aunq seguro me equivoque en algo...

    luego ese limite (la parte derecha del =) me dio 1/2 como era de esperar cuando lo hice con maple pero no consigo ver como realizarlo, el 2 debe venir del 2n+1 pero no consigo ver como sacar el 1 del logaritmo, puesto q todo lo que intento me da infinito...

    voi a seguir dandole.

    grax

    PD2: resuelto solo tenia que separar el numerador en 2 logaritmos restandose y ver cual de ellos era mas "potente" luego era immediato...
    Última edición por gunbladecat; 06/01/2009 a las 13:22:42.

  9. #8
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    Predeterminado Re: Limite con numeros combinatorios

    Ya se que lo solucionaste, pero esta es la otra manera usando Stirling's aproximation.

    \displaystyle L= \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=0}^n \frac{n!}{(k!)^2} \right]^\frac{1}{n^2}...

    Sustituyendo Stirling's approximation y aplicando logs \Rightarrow

    \displaystyle \ln L=\lim _{n\to \infty} \left[ \frac{n+1}{n^2}(n \ln n - n) -\frac{2}{n^2} \sum_{...

    \displaystyle \ln L=\lim_{n \to \infty}\left[ \frac{n+1}{n} (\ln n - 1) - \frac{2}{n^2} \int_1^n ...

    \displaystyle \ln L = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n+1}{n}( \ln n - 1) -\frac{2}{n^2} \left [...

    \displaystyle \ln L = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n+1}{n} \ln n - \frac{n+1}{n} - \ln n + \f...

    \displaystyle \ln L = \lim_{n \to \infty} \left [ \ln n^\frac{1}{n} -1 -\frac{1}{n} +\frac{3}{2} ...

    \displaystyle L = e^\frac{1}{2}

  10. #9
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    Predeterminado Re: Limite con numeros combinatorios

    wow! pues gracias igualmente Jose D. Escobedo

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