1r ciclo Limite con numeros combinatorios

[gunbladecat]

Hola!

bueno la cosa es q tengo q resolver este limite (las fracciones que no estan en el exponente denotan los numeros combinatorios correspondientes)

${(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n}{n})}^{1/(n^2)}$

cuando n tiende a infinito

lo que hice fue tomar logaritmos para bajar el exponente y luego aplicar la regla de stolz. despues de eso me quedo

$\frac{log\frac{n+2}{(n+1)!^2}}{2n+1}$

pero claro lo que acompaña al logaritmo tiende a 0 y log 0 como q lo encuentro raro...

supongo q el problema habra venido de un error al simplificar los numeros combinatorios puesto que al aplicar Stolz tengo en el numerador

$log{(\frac{n+1}{0}*\frac{n+1}{1}*...*\frac{n+1}{n+1})}-log{(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n}{n})}$

que pasa a convertirse en

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

entonces para simplificarlos lo que he hecho es desenvolupar los numeros combinatorios con lo que tengo (ahora ya son fracciones normales)

en el numerador:
$<br /> \frac{(n+1)!}{0!(n+1)!}*\frac{(n+1)!}{1!n!}*...*\frac{(n+1)!}{(n+1)!0!}$

es decir

$\frac{(n+2)(n+1)!}{[(n+1)!*...*0!]^2}$

pq hay n+2 terminos (del 0 al n+1) en el producto y los factores del denominador se repiten 2 veces cada uno

en el denominador:

$\frac{(n)!}{0!(n)!}*\frac{(n)!}{1!(n-1)!}*...*\frac{(n)!}{(n)!0!}$

es decir
$<br /> \frac{(n+1)n!}{[n!*...*0!]^2}$

pq aqui hay n+1 factores (del 0 al n) y tmb se repiten 2 veces los del denominador

entonces en dividorlo y arreglando los numeradores para tachar un (n+1)! de cada uno y tachando los factores del denominador excepto el (n+1)!^2

me da que en el logaritmo hay lo que decia antes

$\frac{log\frac{n+2}{(n+1)!^2}}{2n+1}$

y como hay el log(0) que decia no puedo seguir. alguien ve algun error en mi procedimiento o alguna forma alternativa de hacerlo?

muchisimas gracias!

PD: la solucion deberia dar $e^{1/2}$

[[Beto]]

Re: Limite con numeros combinatorios

Hola!

bueno la cosa es q tengo q resolver este limite (las fracciones que no estan en el exponente denotan los numeros combinatorios correspondientes)

${(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n}{n})}^{1/(n^2)}$

cuando n tiende a infinito

lo que hice fue tomar logaritmos para bajar el exponente y luego aplicar la regla de stolz. despues de eso me quedo

$\frac{log\frac{n+2}{(n+1)!^2}}{2n+1}$

Hola, no te entiendo bien ¿podrías anotar los pasos realizados para llegar a ese resultado?

[gunbladecat]

Re: Limite con numeros combinatorios

supongo q el problema habra venido de un error al simplificar los numeros combinatorios puesto que al aplicar Stolz tengo en el numerador

$log{(\frac{n+1}{0}*\frac{n+1}{1}*...*\frac{n+1}{n+1})}-log{(\frac{n}{0}*\frac{n}{1}*...*\frac{n}{n})}$

que pasa a convertirse en

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

entonces para simplificarlos lo que he hecho es desenvolupar los numeros combinatorios con lo que tengo (ahora ya son fracciones normales)

en el numerador:
$<br /> \frac{(n+1)!}{0!(n+1)!}*\frac{(n+1)!}{1!n!}*...*\frac{(n+1)!}{(n+1)!0!}$

es decir

$\frac{(n+2)(n+1)!}{[(n+1)!*...*0!]^2}$

pq hay n+2 terminos (del 0 al n+1) en el producto y los factores del denominador se repiten 2 veces cada uno

en el denominador:

$\frac{(n)!}{0!(n)!}*\frac{(n)!}{1!(n-1)!}*...*\frac{(n)!}{(n)!0!}$

es decir
$<br /> \frac{(n+1)n!}{[n!*...*0!]^2}$

pq aqui hay n+1 factores (del 0 al n) y tmb se repiten 2 veces los del denominador

entonces en dividorlo y arreglando los numeradores para tachar un (n+1)! de cada uno y tachando los factores del denominador excepto el (n+1)!^2

me da que en el logaritmo hay lo que decia antes

$\frac{log\frac{n+2}{(n+1)!^2}}{2n+1}$

aki justamente explicaba esto pq ya suponia q es error estaba aqui

[Jose D. Escobedo]

Re: Limite con numeros combinatorios

Nada mas queria apuntar que hay un error al copear ese limite y otro que podria decirse como medio error (en otras palabras un error y posiblemente otro). Si se toma como 0! = 1 por definicion (porque $\displaystyle \frac{n}{0}$ no esta definido) entonces existe unicamente un error y este es el de la $\displaystyle \frac{1}{n^2}$ raiz, para obtener [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , deveria ser la $\displaystyle \frac{1}{2n}$ raiz.

Para resolver este problema tienes que usar "[FONT=Arial Black]Stirling's approximation [/FONT][FONT=Verdana]" $n! \sim (\sqrt{2 \pi n}) n^n e^{-n}$ pero en este caso con $n! \sim n^n e^{-n}$ es mas que suficiente.[/FONT]

[FONT=Verdana]$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\frac{n^n}{n!})^{\frac{1}{2n}}$ [/FONT]

[FONT=Verdana]$\Rightarrow$$\displaystyle \frac{n^n}{n!} \sim \frac{n^n}{n^n e^{-n}}$ [/FONT]

$\Rightarrow$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\frac{n^n}{n!})^{\frac{1}{2n}} \sim \lim_{n \to \infty} (e^n)^{\frac{1}{2n}} \sim e^{\frac{1}{2}}$

Si en el numerador trabajas con $n^{n+1}$ en vez de $n^n$ y con la aproximacion de Stirling tal y como esta en los libros obtendras el mismo resultado, pero con mas operaciones. En tu caso como escribiste ($\displaystyle \frac{1}{n^2}$) raiz en vez de ($\displaystyle \frac{1}{2n}$) raiz tu resultado sera "1" en vez de "$e^{\frac{1}{2}}$"

[gunbladecat]

Re: Limite con numeros combinatorios

solo q no son fracciones las del enunciado son numeros combinatorios...

no se si esq no entendi la utilidad de la aproximacion de stirling en este caso o es q no viste mi aclaracion en el 1r post si es asi sorry...

cuando pone

$\frac{n}{0}$ por ejemplo

me refiero al numero combinatorio n sobre 0 y asi con todos los del enunciado q no estan en es exponente...

[[Beto]]

Re: Limite con numeros combinatorios

Hola, me parece que has cometido un error por ahí, tienes que tener en cuenta que se cumple que:

$${n+1\choose r+1}=\frac{n+1}{n+1-r}{n\choose r}$$

Entonces la parte que va en el interior del logaritmo será:

$$\frac{{n+1\choose 0}{n+1\choose 1}\cdots{n+1\choose n+1}}{{n\choose 0}{n\choose 1}\cdots{n\choose n}}=\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}{n\choose 0}{n\choose 1}\cdots{n\choose n}{n+1\choose n+1}}{{n\choose 0}{n\choose 1}\cdots{n\choose n}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}$$

Entonces el límite a calcular sería:

$$\log L=\lim_{n\to\infty}\frac{\log\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}}{2n+1}$$

[gunbladecat]

Re: Limite con numeros combinatorios

ya mñn por la mñn reviso esta parte pero me da q sera eso... grax N30F3B0 y felicidades por ganar el desafio del 2008!, y todos los q participaron aqui. mñn pongo algo.

PD: a mi me da que

$\displaystyle {n+1\choose r+1}=\frac{n+1}{r+1}{n\choose r}$



luego, de dnd sale ese n! del interior del logaritmo, a mi me dio (n+1)!? y si sustituyes uno por el anterior no deberia quedarte el 1º libre en vez del ultimo?

por favor revisalo, aunq seguro me equivoque en algo...

luego ese limite (la parte derecha del =) me dio 1/2 como era de esperar cuando lo hice con maple pero no consigo ver como realizarlo, el 2 debe venir del 2n+1 pero no consigo ver como sacar el 1 del logaritmo, puesto q todo lo que intento me da infinito...

voi a seguir dandole.

grax

PD2: resuelto solo tenia que separar el numerador en 2 logaritmos restandose y ver cual de ellos era mas "potente" luego era immediato...

[Jose D. Escobedo]

Re: Limite con numeros combinatorios

Ya se que lo solucionaste, pero esta es la otra manera usando Stirling's aproximation.

$\displaystyle L= \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=0}^n \frac{n!}{(k!)^2} \right]^\frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left[ (n!)^{n+1} \prod_{k=0}^n (k!)^{-2}\right]^\frac{1}{n^2} \Rightarrow$

Sustituyendo Stirling's approximation y aplicando logs $\Rightarrow$

$\displaystyle \ln L=\lim _{n\to \infty} \left[ \frac{n+1}{n^2}(n \ln n - n) -\frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^n (k \ln k -k) \right] \Rightarrow$

$\displaystyle \ln L=\lim_{n \to \infty}\left[ \frac{n+1}{n} (\ln n - 1) - \frac{2}{n^2} \int_1^n (x \ln x - x ) dx\right]$

$\displaystyle \ln L = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n+1}{n}( \ln n - 1) -\frac{2}{n^2} \left [ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_1^n \right]$

$\displaystyle \ln L = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n+1}{n} \ln n - \frac{n+1}{n} - \ln n + \frac{3}{2} -\frac{3}{2n^2} \right] \Rightarrow$

$\displaystyle \ln L = \lim_{n \to \infty} \left [ \ln n^\frac{1}{n} -1 -\frac{1}{n} +\frac{3}{2} - \frac{3}{2n^2} \right]= \ln 1 + \frac{1}{2} \Rightarrow$

$\displaystyle L = e^\frac{1}{2}$

[gunbladecat]

Re: Limite con numeros combinatorios

wow! pues gracias igualmente Jose D. Escobedo