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Hilo: integral doble cambio de variable

  1. #1
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    Predeterminado integral doble cambio de variable

    Hola

    Para integrar e^(x+y)/(x-y) dxdy usando cambio de variables, esta bien tomar u=x+y and v=x-y???? ya que si lo hago de esa forma llego a tener la integral doble de (-e^u/v du dv), lo cual parece un poco difícil de integrar.

    Gracias

  2. #2
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    Predeterminado Re: integral doble cambio de variable

    Hola, te aviso que hace muchos años que no resuelvo ninguna integral. Yo lo haría de la siguiente manera (si digo alguna barbaridad, por favor, hacédmelo saber ):

    \begin{Bmatrix} x+y=uv\\x-y=v\end{matrix}

    Diferenciando...

    \begin{Bmatrix} dx+dy=udv+vdu\\dx-dy=dv\end{matrix}

    Y aquí puede que cometa una barbaridad, multiplicando diferenciales (como formas)

    dxdy=-\frac{1}{2}vdudv

    por lo que la integral queda más sencilla

    \iint e^{\frac{x+y}{x-y}}dxdy=-\frac{1}{2}\iint e^u vdudv=

    =-\frac{v^2}{4}e^u+C_1v+C_2=-\frac{(x-y)^2}{4}e^{\frac{x+y}{x-y}}+C_1(x-y)+C_2

    No he comprobado la solución.
    Saludos.



    Cita Escrito por scarebyte Ver mensaje
    Hola

    Para integrar e^(x+y)/(x-y) dxdy usando cambio de variables, esta bien tomar u=x+y and v=x-y???? ya que si lo hago de esa forma llego a tener la integral doble de (-e^u/v du dv), lo cual parece un poco difícil de integrar.

    Gracias

  3. #3
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    Predeterminado Re: integral doble cambio de variable

    Veamos.

    La integral a resolver es

    \displaystyle \iint e^{\frac{x+y}{x-y}} dxdy,

    y el cambio de variable que propones es

    u = x+y,

    v = x-y.

    El Teorema del Cambio de Variable nos dice que para cambiar de variables en una integral múltiple, componemos el cambio en el integrando original, y multiplicamos éste por el valor absoluto del jacobiano de la transformada.

    \displaystyle J = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \frac{1}{\displaystyle\frac{\partial ...

    donde el darle la vuelta como he hecho en la fracción es algo que nos permite la notación de Leibniz, en virtud del Teorema de la Función Inversa. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, la integral queda

    \displaystyle \iint e^{\frac{x+y}{x-y}} dxdy = \frac{1}{2}\iint  e^{u/v}du dv,

    que como tal, en principio no se puede hacer en términos de funciones elementales (lo he visto con Mathematica, salen funciones como \text{ExpIntegralEi}).

    Eso sí, dependiendo de los límites de integración, una cierta integral definida, si tienes un determinado recinto de integración, sí puede ser factible llegar a algo que se pueda hacer a mano analíticamente.

    Saludos.

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