1r ciclo integral doble cambio de variable

[scarebyte]

Hola

Para integrar e^(x+y)/(x-y) dxdy usando cambio de variables, esta bien tomar u=x+y and v=x-y???? ya que si lo hago de esa forma llego a tener la integral doble de (-e^u/v du dv), lo cual parece un poco difícil de integrar.

Gracias

[Juanma1976]

Re: integral doble cambio de variable

Hola, te aviso que hace muchos años que no resuelvo ninguna integral. Yo lo haría de la siguiente manera (si digo alguna barbaridad, por favor, hacédmelo saber ):

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Diferenciando...

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y aquí puede que cometa una barbaridad, multiplicando diferenciales (como formas)

$dxdy=-\frac{1}{2}vdudv$

por lo que la integral queda más sencilla

$\iint e^{\frac{x+y}{x-y}}dxdy=-\frac{1}{2}\iint e^u vdudv=$

$=-\frac{v^2}{4}e^u+C_1v+C_2=-\frac{(x-y)^2}{4}e^{\frac{x+y}{x-y}}+C_1(x-y)+C_2$

No he comprobado la solución.
Saludos.

Hola

Para integrar e^(x+y)/(x-y) dxdy usando cambio de variables, esta bien tomar u=x+y and v=x-y???? ya que si lo hago de esa forma llego a tener la integral doble de (-e^u/v du dv), lo cual parece un poco difícil de integrar.

Gracias

[Metaleer]

Re: integral doble cambio de variable

Veamos.

La integral a resolver es

$\displaystyle \iint e^{\frac{x+y}{x-y}} dxdy,$

y el cambio de variable que propones es

$u = x+y,$

$v = x-y.$

El Teorema del Cambio de Variable nos dice que para cambiar de variables en una integral múltiple, componemos el cambio en el integrando original, y multiplicamos éste por el valor absoluto del jacobiano de la transformada.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde el darle la vuelta como he hecho en la fracción es algo que nos permite la notación de Leibniz, en virtud del Teorema de la Función Inversa. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, la integral queda

$\displaystyle \iint e^{\frac{x+y}{x-y}} dxdy = \frac{1}{2}\iint e^{u/v}du dv,$

que como tal, en principio no se puede hacer en términos de funciones elementales (lo he visto con Mathematica, salen funciones como $\text{ExpIntegralEi}$).

Eso sí, dependiendo de los límites de integración, una cierta integral definida, si tienes un determinado recinto de integración, sí puede ser factible llegar a algo que se pueda hacer a mano analíticamente.

Saludos.