Numero aureo , proporcion aurea y serie fibonacci.

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Bueno voy ha hablar un poquito de la serie de fibonacci que tanto suele gustar o causar curiosidad entre la gente, tambien hablare del numero aureo $\varphi$ que tantas propiedades tiene tambien, ademas demostrare su procedencia y lo deducire de la serie de fibonacci para que todos veais de donde viene.

Serie de Fibonacci

Bien la serie de fibonacci no es mas que una serie que se define como :

$\dst\begin{aligned}<br /> & X_1=0\\<br /> & X_2=1\\<br /> & X_n=X_{n-1} + X_{n-2}<br /> \end{aligned} <br />$

Esto nos deja una serie de la forma:

$0,1,1,2,3,5,8,13,21...$

Bien pues es una sucesion creada por Leonardo de Pisa tambien conocido como Fibonacci un matematico muy curioso e interesante que tiene entre otros meritos ser quien difundio el sistema decimal en europa asi como el 0 como numero y todo lo que eso conlleva. Para ello hizo numerosisimos estudios de como nos beneficiaria el sistema decimal, lo cual imaginen no seria nada facil en la epoca es como si ahora te intentan vender otro sistema costaria mucho adaptarse pero el demostro las ventajas de este sistema y convencio a la europa ilustrada.

Tambien es famoso por su serie, la serie de fibonacci y no por la serie en si sino por donde aparece, segun dicen esta serie ya fue descubierta antes por su simplicidad por matematicos desde antes de cristo, asi que esto viene de muy atras.

Segun he leido esta serie tiene un origen musical, que viene de cuando los matematicos de hace mas de 200 años decidieron medir los ritmos creados por las diferentes palabras o notas, de uno o dos pulsos asi comenzaron la serie desde 1, y sumaron una de 2 pulsos, quedando asi un ritmo de 3 ala que si sumaban una nota de dos pulsos quedaba en 5 a la que si le sumaban la anterior 8 13 etc etc, quedandoles:

$1,2,3,5,8,13,21,34...$

Sin embargo fibonacci lo presento como una solucion a la cria de conejos teniendo en cuenta muy importante que 1 pareja de conejos engendra en 1 mes 1 pareja de conejos crias(uno hembra y otro macho) , lo explicare de la siguiente manera:

1. Final del mes 0 $\to$ 0 conejos \to 0 cojenos adulto
2. Principio de mes 1 $\to$ 1 pareja(A) de recien nacidos que insertamos. $\to$ 1 pareja
3. Final del mes 1 $\to$ la pareja(A) de conejos ya es mayor $\to$ 1 pareja
4. Final de mes 2 $\to$ la pareja(A) de conejos procreo y la nueva pareja(B) justo nacio $\to$ 2 parejas
5. Final de mes 3 $\to$ la pareja (A) da una pareja(C) y la pareja (B) se hizo mayor $\to$ 3 parejas
6. Final de mes 4 $\to$ la pareja(A,B) dieron las parejas(D,E) la pareja(C) se hizo mayor $\to$ 5 parejas
7. Final de mes 5 $\to$ la pareja (A,B,C) dieron parejas(F,G,H) las parejas(D,E) se hicieron mayores $\to$ 8 parejas
8. Aqui 5 parejas adultas enjendran 5 parejas mas y 3 se hicieron mayores $\to$ 13 parejas
9. Aqui 8 parejas adultas enjendran 8 parejas y 5 se hicieron mayores $\to$ 21

Pero resulta que se ve en muchas cosas de la naturaleza como por ejemplo:

1. el modo en el que los arboles se dividen en ramas
2. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar, Jupiter tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io,Europa, Geminedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.
3. En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5.

Ademas tiene muchas curiosidades como que el 1 o el 8 son los unicos cubos en toda la sucesion pero eso lo veremos luego para sacar el numero aureo a partir de esta sucesion.

Numero Aureo

Es un numero irracional que comienza por:

$\dst \varphi =1,6180339887498$

Bien la historia de este numero no tiene nada que ver con la serie de fibonacci sino que luego se vio que tambien esta presente en esta serie, aqui aparece entonces el concepto de la "razon aurea" a lo que se le aporta algo mistico o bello segun lei no se sabe su procedencia pero el primero en definirla fue Euclides con esta frase:

"Se dice que una línea recta está dividida entre el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Bien esa facil es dificil de comprender asi que aqui expongo graficamente la "razon aurea":

Supongo que asi si se entiende.

El matematico Pacioli llamo al numero aureo el numero divino por las siguientes propiedades:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La autosimiliridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.

Kepler dijo lo siguiente:

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el Teorema de Pitagoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco, ejemplos:

1. Relaciones entre las partes del pentágono.
2. Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
3. Relaciones entre las partes del decágono.
4. Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

Fijense en el pentagono las razones aureas que se cumplen entre variedad de longitudes: las coloreadas cumplen razon aurea, amarilla con roja, roja con azul, azul con morada... bonito verdad?

Bien ahora cuidado con todo lo que cito ya que aqui ya hay mucha gente que ve el numero aureo donde quiere yo solo cito pero de aqui en adelante no hay una demostracion empirica como de lo que dije anteriormente, ya que este numero es muy famoso y todo el mundo lo quiere ver en todos lados, aunque tambien se deja ver bastante digamos, yo solo cito.

Numero aureo en la naturaleza:

1. La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
2. La disposición de los petalos de las flores
3. La distribución de las hojas en un tallo.
4. La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
5. La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
6. La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas.
7. En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.
8. Ademas sumen a esto todas las cristalizaciones geometricas entre las que distancias cation anion cumplen relaciones aureas por ser figuras geometricas.

Numero aureo en el cuerpo humano:

1. La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
2. La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
3. La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
4. La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
5. La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
6. Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
7. Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

El numero aureo tambien esta presente en el arte pero como el arte es creado por el hombre no lo cito, ademas como ya dije se le ha considerado un numero de proporciones bellas por ello esta tan presente.

Vamos con las matematicas

Bien ahora vamos con las matematicas a deducir el numero aureo a partir de la serie de fibonacci. Segun vi:

$\dst \varphi =\lim_{n \to \infty}\frac{X_n}{X_{n-1}}$

donde $X_n$ y $X_{n-1}$ son terminos de la serie de fibonacci

o eso dice internet, ahora lo siguiente lo hare yo todo. Bien vamos ha resolver ese limite.

$\dst \lim_{n \to \infty}\frac{X_n}{X_{n-1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{X_{n-1}+X_{n-2}}{X_{n-1}} =\lim_{n \to \infty} 1+\frac{X_{n-2}}{X_{n-1}}$

Ahora si lo vemos a nivel global :

$\dst \lim_{n \to \infty}\frac{X_n}{X_{n-1}}=L \Rightarrow L=1+\frac{1}{L} \Rightarrow L^2-L-1=0 \Rightarrow L=\frac{1\pm \sqrt{1^2+4} }{2}$

No podemos considerar la solucion negativa ya que $\dst X_n>X_{n-1}$

Luego nos queda:

$\dst \varphi =\frac{1+ \sqrt{5} }{2}$

que es exactamente el numero aureo. Pero para resolver el limite presupusimos que:

$\dst \frac{X_n}{X_{n-1}}=\frac{X_{n-1}}{X_{n-2}}$

Para ello hay que comprobar si eso es cierto, asi que ahi vamos, calcularemos la diferencia entre esos dos terminos que tiene que ser 0 para que nuestra resolucion del limite sea correcta.

$\dst \frac{X_n}{X_{n-1}}-\frac{X_{n-1}}{X_{n-2}}$$\dst=\frac{X_nX_{n-2}-X_{n-1}X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}=$$\dst \frac{X_nX_{n-2}-(X_{n-2}+X_{n-3})X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}=$$\dst\frac{X_nX_{n-2}-X_{n-2}X_{n-1}-X_{n-3}X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}=$$\dst \frac{(X_{n-1}+X_{n-2})X_{n-2}-X_{n-2}X_{n-1}-X_{n-3}X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}=$$\dst\frac{X_{n-1}X_{n-2}+X_{n-2}X_{n-2}-X_{n-2}X_{n-1}-X_{n-3}X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}=$
$<br /> \dst \frac{X_{n-2}X_{n-2}-X_{n-3}X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}<br />$

Si nos fijamos tenemos que:

$\dst\frac{X_nX_{n-2}-X_{n-1}X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}=\dst \frac{X_{n-2}X_{n-2}-X_{n-3}X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}$

$\downarrow$

$\text{Si repito esa mismo operacion obtengo que esto es igual a:}$

$\downarrow$

$\dst\dst \frac{X_{n-2}X_{n-2}-X_{n-3}X_{n-1}}{X_{n-1}X_{n-2}}=\dst \frac{X_{n-2}X_{n-4}-X_{n-3}X_{n-3}}{X_{n-1}X_{n-2}}$

$\downarrow$

$\text{Si repito esta misma operacion n veces obtengo}$

$\downarrow$

$\dst\frac{\left\vert{ X_nX_{n-2}-X_{n-1}X_{n-1}} \right\vert{}}{X_{n-1}X_{n-2}}=\frac{\left\vert{ X_2X_{0}-X_{1}X_{1}} \right\vert{}}{X_{n-1}X_{n-2}}=\frac{\left\vert{-X_{1}X_{1}} \right\vert{}}{X_{n-1}X_{n-2}}=\frac{1}{X_{n-1}X_{n-2}}\to_{n\to\infty}0$

$\downarrow$

Queda demostrado que:

$\lim_{n \to \infty} \dst \frac{X_n}{X_{n-1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{X_{n-1}}{X_{n-2}}$

Luego deducimos bien el limite y demostramos que el numero aureo esta en la serie de fibonacci.

[FONT=Comic Sans MS]Si les gusto, tienen objeciones o desean aportar algo por favor comenten. ^_^ gracias.[/FONT]

[angel relativamente]

Precioso artículo. Te mando un reto.

Ademas tiene muchas curiosidades como que el 1 o el 8 son los unicos cubos en toda la sucesion pero eso lo veremos luego para sacar el numero aureo a partir de esta sucesion.

¿Puedes demostrar que solo existan dos cubos perfectos en una sucesión infinita?

¡Un saludo!

[_L_]

Buena pregunta, hoy no he tenido mucho tiempo, lo he estado mirando un poco pero no me ha parecido trivial aunque quizas si lo sea ^_^

Si sabes ponlo y lo adjunto ala blog con la respectiva cita mañana lo miro bien a ver....

[ehguacho]

excelente articulo! me gusto mucho. felicitaciones!