SIGUIENDO CON LA DOBLE T DE MINKOWSKI
Pongamos un ejp simple:

Siendo A y B dos cuerpos en estado inercial que se alejan entre sí y ambos emiten luz con la misma frecuencia de emisión; cada pulso de luz se separa del siguiente en un tiempo dt desde cada emisor; siendo, la velocidad de alejamiento entre ambos dl/dt, siendo dl la distancia que se separan A y B en la unidad de tiempo dt. En el sistema de coordenadas espaciales dl^2=dx^2+dy^2+dz^2.

A observa que se aleja B, y B que se aleja A.

Las señales de luz del emisor, las recibe el observador con una frecuencia inferior a como son emitidas, debido al retardo acumulativo en el tiempo necesario para que la señal luminosa recorra dl.

O sea, que dl=dt·c, y para el cuerpo emisor dl=0, porque dl-dt·c=0 al igual que en el resto de RSI.

Pero resulta que en un ejp igual en todo menos en el sentido del desplazamiento relativo; o sea, que A y B se acercan entre sí en vez de alejarse, siendo dt y dl los mismos; tendremos que las señales de luz del emisor las recibe el observador con una frecuencia superior, en la misma cantidad que en el caso anterior era inferior, a como son emitidas, debido al adelanto acumulativo en el tiempo. Porque cada señal siguiente tiene dl espacio menos que recorrer.

O sea, que dl=-dt·c, y para el cuerpo emisor dl=0, porque dl+dt·c=0 al igual que en el resto de RSI.

Y sustituyendo dl+dt·c=dl-dt·c

¿Qué tiene dt·c que tanto sumado como restado abarca el mismo dl para dar 0?
Lo que ocurre es que c es el proceso de transformación de la coordenada temporal imaginaria en espacial, o sea, de tiempo en un estado inercial, en espacio para otro SRI. Y el espacio tiene la peculiaridad en RE de que es simultaneo.

Para el cuerpo emisor, el espacio dl es 0 porque lo emite en sí mismo, y para cualquier otro SRI desde el que se observe, en parte, su coordenada temporal se desdoblará en espacio con doble sentido; o sea, para c, retardo y adelanto por igual, dando en su totalidad una media de dt=dt´ siendo dt´ un diferencial de la coordenada temporal del diferencial ds´ .

Pero no se desdobla en un espacio en un solo sentido. Esta es solo una interpretación incompleta por una observación incompleta al serlo desde una localización espacial puntual concreta en una orientación del emisor concreta. Muy distinto sería el caso de los estados acelerados de los cuerpos.

A ver, siendo un diferencial de espaciotiempo entre dos señales de luz contiguas (seguimos situados en los mismos ejemplo) de la frecuencia de emisión ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2 en un espacio tetra dimensional de Minkowski (x, y, z, w), en el que dw=dt·c·i.

Para cualquier otro SRI, el diferencial de sucesos de estos mismos sucesos sería ds´ , cumpliéndose que ds´=ds

Sustituimos la suma de cuadrados... ds^2=dl^2+dw^2

y sustituimos dw… ds^2=dl^2+(dt·c·i)^2

y aquí es donde tenemos que tener mucho cuidado, porque ds representa al suceso desde un SRI cualquiera entre infinitos posibles (con infinitos dl posibles en sus dos posibles sentidos), y desde las infinitas orientaciones posibles. Esto refleja una esfera compleja de posibilidades agrupadas en un estado cuántico de probabilidades de la señal luminosa; ósea, de interacción electromagnética (en el caso de este ejp).
Esto nos dice que ds es complejo.

Para hacer una transformación completa de parte de dt en dl debemos tener en cuenta por igual los dos sentidos de dl para las dos posibilidades de interacción espacial con su entorno por parte del cuerpo emisor.

Volviendo al punto… ds^2=dl^2+(dt·c·i)^2

sería un error transformarlo en… ds^2=dl^2-(dt·c)^2 si ds es complejo;

siendo ds=([(ds+)^2+(ds-)^2]/2)^(½)

Siendo ds´+ el caso en que A y B se alejan, y ds´- el caso en que se acercan…

Entonces (ds´+)^2=dl^2-(dt·c)^2
y (ds´-)^2=dl^2+(dt·c)^2

La transformación correcta por completa sería por lo tanto… ds^2=[(ds´+)^2+(ds´-)^2]/2
y sustituyendo… ds^2=[dl^2-(dt·c)^2+dl^2+(dt·c)^2]/2

Y ¿qué hay que hacer con esto’. Bueno, en principio nada. Solo saberlo y tenerlo en cuenta.
La naturaleza de ds es compleja, por lo que no se debe desdoblar al no ser que se pretenda definir una observación parcial. Pero es importante saber que esa observación es de ds´+ o ds´-; o sea, que no se refiere a cálculos con el tiempo propio del cuerpo emisor.

Esto, para el diagrama de tiempos propios de Minkowski, nos lleva a contar con ds completo, de manera que, la fósmula de tiempos propios en dicho diagrama, a que tener en cuenta por igual al observador de la línea de tiempo vertical t, como a la línea de tiempo también vertical t´, localizada en el lado opuesto de t respecto al objeto observado. O mejor interpretado, teniendo en cuenta el tiempo espacial dx imaginario (dx·i), ya que el diagrama es de tiempos y no hay posibilidad de sentidos en el tiempo.

Así que, de la fórmula incompleta T^2=dt^2-dx^2 y siendo T el tiempo propio a calcular del movil observado, pasamos a la fórmula correcta para tiempos propios, que sería

T^2=(T^2 del observador en t + T^2 del observador en t´)/2, dándose que al pertenecer al mismo SRI, t y t´ tienen los mismos valores de tiempo propio

T^2=[(dt^2+dx^2)+(dt^2+dx^2·i^2)]2 = [dt^2+dx^2+dt^2-dx^2]/2

que simplificando… T^2=(2·dt^2)/2=dt^2

y T=dt

lo que nos dice que el cuerpo en estado inercial observado tiene la misma densidad de tiempo propio; aunque, al pertenecer a distinto SRI que los observadores, tiene la misma densidad de sucesos en el tiempo, pero con distinta distribución de sucesos simultáneos; o sea, de distinta simultaneidad espacial de sucesos.