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El problema de jerarquías y mundos branas
Milko Estrada Cuadros
Partiré haciendo un breve resúmen sobre las fuerzas existentes en la naturaleza:
Fuerzas de interacción existentes en la naturaleza
Interacción nuclear fuerte
Es la fuerza que hace que los nucleos atómicos permanezcan unidos, es decir, tanto protones, neutrones y quarks se mantienen pegados gracias a esta interacción. Esta fuerza tiene un corto alcance, de alrededor de una billonésima de milímetro, de ahí el hecho de que los núcleos atómicos tengan un escaso tamaño.
Interacción electromagnética
Esta fuerza se manifiesta como campos electromagnéticos o como intercambio de fotones, y es unas 100 veces mas débil que la interacción fuerte. Esta interacción tiene un alcance mas grande que la interacción nuclear fuerte.
Interacción nuclear débil
Unos diez mil millones de veces mas débil que la electromagnética y con un alcance aun menor que la interacción fuerte, esta fuerza la encontramos en los llamados fenómenos radiactivos de tipo beta, que no son otra cosa que desintegraciones de partículas y núcleos atómicos.
Interacción gravitacional
A pesar de lo que pueda parecer, es extremadamente débil. Su intensidad es aproximadamente, dicho en números redondos, veces menor que la interacción nuclear débil.
Esta fuerza no tiene limite en su alcance, aunque su influencia se reduce según aumenta la distancia, como ya formuló Isaac Newton con su Ley de la Gravedad, una Ley que posteriormente fue mejorada por Einstein. Las ecuaciones de Newton no eran otra cosa que un caso particular de otras mas generales. Ese caso particular es el de nuestra vida cotidiana, pero a escala mayor rige la Teoría General de la Relatividad.
El problema de Jerarquías
Un problema de jerarquías es aquel que surge cuando los parámetros usados teóricamente difieren de los parámetros medidos experimentalmente.
Uno de los problemas de jerarquías mas importante en física es no poder explicar el hecho de que la interacción débil es veces mas fuerte que la interacción gravitacional.
Así, en física teórica han surgido las teorías llamadas mundos branas o brane world, las cuales están basadas en la existencia de dimensiones extas a las usuales 4 dimensiones a las que estamos acostumbrados (3 espaciales y una temporal.
En este blog se mostrar\'an dos propuestas para solucionar el problema de jerarquías, el modelo ADD y el modelo de Randall y Sundrum de 2 branas.
Modelo de Arkani-Hamed, Dimopoulos y Dvali (ADD)
En este modelo se intenta resolver el problema de jerarquías mediante la introducción de dimensiones extras compactificadas por un radio . El elemento de línea puede escribirse como:
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donde y donde se observa que las parte dimensional no depende de las coordenadas extras.
En un espacio dimensional la acción de Einstein Hilbert puede describirse de la siguiente manera :
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Donde es cualquier numero constante y donde representa una coordenada extra. En la ecuación anterior podemos observar que la escala que describe la gravedad dimensional es la escala de Planck [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
De esta ultima ecuación sigue que la teoría dimensional es descrita por la escala de Planck [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , la cual posee un valor distinto a la escala [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . La acción es:
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Donde encontramos la siguiente relación entre las constantes de Planck y Newton Multidimensionales:
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y en consecuencia:
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El problema de jerarquías consiste en tener en la naturaleza 2 escalas diferentes y aparentemente independientes como lo son la escala electro débil [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y la escala de Planck [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] lo que implica (al reemplazar esto último en la última ecuación) que la constante de Newton [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Así se observa que la escala electro débil es bastante mayor que la constante de Newton .
La idea sugerida por ADD es que la única escala fundamental en la naturaleza es la escala electro débil, y que la razón para tener una escala dimensional tan grande como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la existencia de dimensiones extras.
Al integrar la ecuación (2) y asumiendo que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es un volumen denotado como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y aprovechando que se cumplen las siguientes relaciones [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] queda la siguiente acción efectiva dimensional:
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Así igualando la acción efectiva dimensional (6) con la acción dimensional (3) se llega a la siguiente relación:
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donde al despejar el radio de compactificación queda
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Siguiendo con la idea enunciada con anterioridad, reemplazando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] llegamos a:
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donde la raz\'on adimensional
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En la ecuación (8) se requiere que el radio tenga unidades de longitud. En las unidades de Planck la velocidad de la luz es , lo que implica que la longitud de Planck [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sea el equivalente al tiempo de Planck [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Ademas la energía de Plank es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (hache barra ) con , donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Debido a esto podemos expresar la energía de Planck, que tiene un valor de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en términos de longitud como =[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Así el valor de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en términos de longitud lo podemos expresar como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Así de (8) el radio de Planck lo podemos expresar como:
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Bueno, me falta terminar esta primera parte, hablando del potencial newtoneano y de las implicancias físicas de los valores de los radios para distintas cantidades de dimensiones extras. En la segunda parte hablaré de uno de los modelos mas famosos, el modelo de Randall y Sundrum de dos branas
Algo que aún no tengo claro: En una de las libretas mi profesor hizo la siguiente observación : "¿que tipo de geometía hay en las dimensiones extras, un toro, un plano?".. Yo tengo claro que son dimensiones compactificadas con un radio r, y viendo los dibujos que hay en la web muestran algo como lo que adjunto, pero ¿alguien sabria contestar la pregunta?