Resolución de circuito con transformador ideal

[Alriga]

Los circuitos de corriente alterna que contienen un transformador con acoplamiento ideal en los que no hay ningún elemento que conecte primario con secundario, se suelen resolver con bastante sencillez usando la reducción del secundario al primario, (“el circuito equivalente del secundario reducido al primario”)

A continuación, se presenta un circuito de transformador con acoplamiento ideal en el que hay conectada una impedancia entre primario y secundario y que se resuelve aplicando leyes generales de la electrotecnia.

Se supone que tenemos como datos $U, \ Z_g, \ Z_k, \ Z_1, \ n, \ Z_2, \ Z_3$ y que debemos resolver el circuito hallando tensiones, corrientes y potencias. Atención: si $N_1$ es el número de espiras del primario y $N_2$ el número de espiras del secundario, aquí definimos la relación de transformación “$n$” como $n=N_2/N_1$

$$\dfrac{U-V_a}{Z_g}=I_1+\dfrac{V_a-V_b}{Z_k}$$

$$\dfrac{V_a-V_b}{Z_k}+\dfrac{I_1}n=\dfrac{V_b}{Z_3}$$

$$V_a=I_1 Z_1+V_1$$

$$V_b=n V_1-\dfrac{I_1}n Z_2$$

Las expresiones (1) y (2) son la aplicación del método de los nudos (primera Ley de Kirchhoff) , en el nudo marcado $V_a$ y en el marcado $V_b$. Las expresiones (3) y (4) son los cálculos de las tensiones en $V_a$ y en $V_b$ (segunda Ley de Kirchhoff). Son 4 ecuaciones con las incógnitas $V_1$, $I_1$, $V_a$ y $V_b$

Si sustituimos (3) y (4) en (1) y (2), después de operar obtenemos:

$\boldsymbol{\left. \begin{aligned}<br /> (Z_g-nZ_g+Z_k) V_1 +(Z_gZ_1+Z_gZ_k+\dfrac 1 n Z_2 Z_g+Z_1Z_k)I_1 &=U Z_k \\<br /> (nZ_3-n^2Z_3-n^2Z_k)V_1+(nZ_1Z_3+Z_2Z_3+Z_2Z_k+Z_3Z_k)I_1 &=0<br /> \end{aligned} \right\}}$

Tenemos ahora 2 ecuaciones con 2 incógnitas, ( $V_1$ e $I_1$ ), que para un caso numérico concreto será muy fácil de resolver mediante, por ejemplo, la Regla de Cramer. Resuelto el sistema, con los valores obtenidos de $V_1$ e $I_1$ es fácil hallar el resto de incógnitas del circuito.

$V_a=I_1 Z_1+V_1$

$I_g=\dfrac{U-V_a}{Z_g}$

$V_2=n V_1$

$I_2=\dfrac{I_1}n$

$V_b=n V_1-\dfrac{I_1}n Z_2$

$I_k=\dfrac{V_a-V_b}{Z_k}$

$I_3=\dfrac{V_b}{Z_3}$

En general, si los elementos pasivos son impedancias complejas, las ecuaciones serán ecuaciones en números complejos. A continuación resolvemos un ejemplo en el que los elementos pasivos del circuito son exclusivamente resistencias. Los datos del ejemplo (con $U$ en valor eficaz), son:

$\boldsymbol{U=100 \ V \quad Z_g=R_g=1 \ \Omega \quad Z_k=R_k=100 \ k\Omega}$

$\boldsymbol{Z_1=R_1=2 \ \Omega \quad n=10 \quad Z_2=R_2=25 \ \Omega \quad Z_3=R_3=5 \ k\Omega}$

Se puede entender que $R_1$ y $R_2$ son las resistencias que evalúan respectivamente, las pérdidas en el cobre del primario y del secundario. Como todos los elementos pasivos son resistencias y el transformador se supone de acoplamiento ideal, todas las tensiones y corrientes del circuito estarán en fase con la tensión del generador, y podemos trabajar con números reales en vez de complejos. Sustituimos estos valores del ejemplo en las 2 ecuaciones, operamos y obtenemos el sistema:

$\left. \begin{aligned}<br /> 99991 \ V_1 +300004.5 \ I_1 &=10000000 \\<br /> -10450000 \ V_1+502725000 \ I_1 &=0<br /> \end{aligned} \right\}$

Resolvemos el sistema, por ejemplo mediante la Regla de Cramer, y obtenemos:

$V_1=94.14 \ V$

$I_1=1.9568 \ A$

El resto de incógnitas del circuito se obtienen fácilmente:

$V_a=98.05 \ V$

$I_g=1.9484 \ A$

$V_2=941.38 \ V$

$I_2=0.1957 \ A$

$V_b=936.49 \ V$

$I_k=-0.0084 \ A$

$I_3=0.1873 \ A$

Comprobación:

$I_1+I_3=1.9568+0.1873=2.1441=1.9484+\dfrac{1.9568}{10}=I_g+\dfrac{I_1}n$ (por lo tanto OK)

Las potencias del circuito, (recordad que en este ejemplo no hay desfases) :

$P_u=U \ I_g=194.84 \ W$

$P_g=R_g I_g^2=3.7964 \ W$

$P_1=R_1 I_1^2=7.6583 \ W$

$P_k=R_k I_k^2=7.0297 \ W$

$P_2=R_2 I_2^2=0.9573 \ W$

$P_3=R_3 I_3^2=175.40 \ W$

$\eta=\dfrac{P_3}{P_u}=90.04 \%$

Comprobación:

$P_g+P_1+P_k+P_2+P_3=194.84 \ W=P_u$ (por lo tanto OK)

Saludos.

Nota: Puede interesar también consultar Circuito con transformador con impedancia capacitiva entre primario y secundario en el que hay un ejemplo con impedancias complejas.