Circuito con transformador con impedancia capacitiva entre primario y secundario

[Alriga]

En un trabajo anterior titulado Resolución de circuito con transformador ideal analizamos el circuito de la figura que resolvimos aplicando el método de los potenciales de nudo, llegando a las expresiones:

$\boldsymbol{\left. \begin{aligned}<br /> (Z_g-nZ_g+Z_k) V_1 +(Z_gZ_1+Z_gZ_k+\dfrac 1 n Z_2 Z_g+Z_1Z_k)I_1 &=U Z_k \\<br /> (nZ_3-n^2Z_3-n^2Z_k)V_1+(nZ_1Z_3+Z_2Z_3+Z_2Z_k+Z_3Z_k)I_1 &=0<br /> \end{aligned} \right\}}$

Tras resolver el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas $V_1$ y $I_1$ hallamos el resto de incógnitas del circuito:

$V_a=I_1 Z_1+V_1$

$I_g=\dfrac{U-V_a}{Z_g}$

$V_2=n V_1$

$I_2=\dfrac{I_1}n$

$V_b=-\dfrac{I_1}n Z_2+n V_1$

$I_k=\dfrac{V_a-V_b}{Z_k}$

$I_3=\dfrac{V_b}{Z_3}$

A continuación allí resolvíamos un ejemplo en el que todos los elementos pasivos eran resistencias, por lo que todas las tensiones y corrientes del circuito estaban en fase con la tensión del generador, y se podía trabajar con números reales en vez de complejos.

Ahora pretendemos aplicar las ecuaciones obtenidas a un circuito algo más general como sería el de la imagen inferior. Se puede entender que $R_1$ y $R_2$ son las resistencias que evalúan respectivamente, las pérdidas en el cobre del primario y del secundario. Que $L_1$ y $L_2$ son las inductancias que evalúan respectivamente, los flujos dispersos del primario y del secundario. Y que $C_{ab}$ y $R_{ab}$ evalúan una capacidad parásita no ideal entre primario y secundario. Lo único que este circuito desprecia, (no contempla) son pérdidas en el hierro.

Los valores que utilizaremos en este ejemplo son:

$\boldsymbol{U=100 \ V \qquad w=50 \ Hz \qquad Z_g=R_g=1 \ \Omega \qquad C_{ab}=900 \ nF \qquad R_{ab}=100 \ k\Omega}$

$\boldsymbol{R_1=10 \ \Omega \qquad L_1=100 \ mH \qquad n=2.3 \qquad R_2=20 \ \Omega \qquad L_2=200 \ mH \qquad Z_3=R_3=847 \ \Omega}$

Lo ideal es que el estudiante haga los cálculos por sí mismo a ver si llega a los mismos resultados. Primero calculamos:

$Z_1=R_1+j w L_1=10+j31.4159$

$Z_2=R_2+j w L_2=20+j62.8319$

$Z_k=C_{ab} \ | | \ R_{ab}=124.9316-j3532.3580$

Ya podemos sustituir valores y simplificar el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, obteniendo:

$\left. \begin{aligned}<br /> (123.6316-j3532.3580) \ V_1 +(112365.2415-j34872.3613) \ I_1 &=13742.4767-j388559.3758 \\<br /> (-3193.4182+j18686.1736) \ V_1+(366681.2995-j2940284.7222) \ I_1 &=0<br /> \end{aligned} \right\}$

Resolvemos el sistema, por ejemplo mediante la Regla de Cramer, y obtenemos:

$V_1=101.81\angle -10.86^{\circ}$

$I_1=0.651\angle -8.27^{\circ}$

El resto de incógnitas del circuito se obtienen fácilmente:

$V_a=109.37\angle 0.07^{\circ}$

$I_g=0.639\angle -11.28^{\circ}$

$V_2=234.2\angle -10.86^{\circ}$

$I_2=0.283\angle -8.27^{\circ}$

$V_b=230.0\angle -15.36^{\circ}$

$I_k=0.0362\angle -120.53^{\circ}$

$I_3=0.272\angle -15.36^{\circ}$

Las potencias del circuito, empezando por la potencia aparente suministrada por el generador:

$S_u=U \ I_g^*=68.88+j13.74=70.2 \ VA \angle 11.28^{\circ}$

La potencia activa suministrada por el generador:

$P_u=\mathcal Re (S)=68.88 \ W$

La potencia reactiva:

$Q_u=\mathcal Im (S)=13.74 \ VAr$

Las pérdidas en las resistencias.

$P_g=R_g I_g^2=0.41 \ W$

$P_1=R_1 I_1^2=4.24 \ W$

$P_k=R_k I_k^2=0.16 \ W$

$P_2=R_2 I_2^2=1.6 \ W$

La potencia activa entregada a la carga:

$P_3=R_3 I_3^2=62.5 \ W$

El rendimiento:

$\eta=\dfrac{P_3}{P_u}=90.7 \%$

Comprobación:

$P_g+P_1+P_k+P_2+P_3=68.88 \ W=P_u$ (por lo tanto OK)

Saludos.