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Además del tránsito del propio satélite, en muchas ocasiones también es posible observar con telescopios modestos de aficionado, el tránsito de las sombras de los satélites, desplazándose por el círculo aparente del planeta Júpiter observado desde la Tierra.
El objetivo del presente artículo es estimar mediante geometría y trigonometría básicas el tamaño aproximado de cada una de las 4 sombras de los 4 satélites proyectadas por estos en Júpiter vistas desde la Tierra. Para ello se van a hacer bastantes simplificaciones: consideraremos alineados los centros del Sol, la Tierra, el satélite y Júpiter. Además los 4 astros ubicados a la distancia media (semieje mayor) de sus órbitas elípticas.
1.- UMBRA
El ángulo “A” del cono de sombra es:
El arco diametral “a” de la sombra del satélite sobre la superficie de Júpiter es:
El ángulo “B” que corresponde a este arco desde el centro de Júpiter es:
Ahora vamos a calcular el tamaño angular aparente del arco “a” visto desde la Tierra.
La cuerda “c” se calcula mediante:
La flecha “f” mediante:
Finalmente, el tamaño angular aparente “s” del arco “a” se calcula:
Como elemento comparativo se calcula el diámetro angular aparente de Júpiter visto desde la Tierra:
El resultado que se obtiene es que la sombra (umbra) de mayor tamaño es la de Ganímedes 1.14”, seguida de la de Io 0.99”, Europa 0.67” y finalmente Calisto 0.52”
2.- PENUMBRA
Vamos a calcular ahora el diámetro de la penumbra proyectada sobre la superficie de Júpiter por cada uno de los cuatro satélites.
Operando para obtener la distancia del cono de penumbra:
El ángulo del cono de penumbra:
Si despreciamos la longitud de la flecha, (aproximación que conlleva un error menor del 0.2%) podemos plantear para la cuerda Cp:
Despejando:
Ahora calculamos el ángulo aparente de esa cuerda vista desde la Tierra, aplicando:
Despejando:
El resultado que se obtiene es que la penumbra de mayor tamaño es la de Calisto 2.65”, seguida de la de Ganímedes 2.32”, Io con 1.40” y finalmente Europa 1.32”.
La penumbra empieza donde acaba la umbra siendo allí tan oscura como ésta, y va disminuyendo “su oscuridad” hasta la “oscuridad cero” en su borde exterior. ¿Qué parte de la penumbra es lo suficientemente oscura como para resultar visible desde la Tierra?
No lo sé, pero por fotografías que he visto de tránsitos de estas sombras, diría que aproximadamente un tercio de la corona que forma la penumbra alrededor de la sombra es lo suficientemente oscura como para ser vista.
Con esa premisa el tamaño de oscuridad visible desde la Tierra será aproximadamente:
El resultado que se obtiene con este criterio es que la “oscuridad” de mayor tamaño visible desde la Tierra sería la de Ganímedes 1.53”, seguida de la de Calisto 1.23”, Io con 1.13” y finalmente Europa 0.91”.
Como elemento comparativo, el diámetro de Júpiter es de 46.9” de arco. Los resultados se resumen en el cuadro adjunto:
El resultado de esta estimación es que a priori, a un astrónomo aficionado con un telescopio modesto le debería ser más fácil observar por orden, los tránsitos de las sombras de Ganímedes, de Calisto, de Io y finalmente la de Europa que es la de menor tamaño.
NOTA: Además de que las distancias no son siempre las distancias medias y los 4 astros no estarán perfectamente alineados, otros errores de esta estimación es que las sombras generalmente no serán círculos, pues no las vemos exactamente de frente, sino elipses. Finalmente está claro que si se diera la coincidencia de que el observador y los 4 astros considerados estuvieran perfectamente alineados, el satélite se interpondría entre la sombra y nosotros.
Saludos.
Título en inglés: "Estimating the size of the shadows of Jupiter's satellites in their transits"
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Pero ,vos si que sabes clavar una duda...
Si el angulo con vértice en el sol entre júpiter y la tierra es es posible ver la sombra toda entera para todas las lunas aún con este ángulo con 1 solo grado sexagesimal.
si se refina mas el calculo introduciendo el radio de la tierra y el de Jupiter, y no teniendo en cuenta la latitud , sino que la observación esta en el cenit.
Las funciones arcotangentes son siempre crecientes por lo que evaluar
resulta que es lo mismo que evaluar
El primer término es la relación de catetos entre los triángulos formados entre el eje Sol Júpiter una perpendicular de este hasta la tierra y la hipotenusa tanto a la Luna escogida, y el segundo respecto de la sombra.
En definitiva estamos evaluando la diferencia de ángulos y entre el borde de la luna y el borde de la sombra, si esto es positivo se ven completos la luna y su sombra.,
Puedes ver otro doble eclipse en Jupiter desde tierra
https://guillermoabramson.blogspot.com/2010/10/la-sombra-del-heroe.html
Cuatro ya son multitud...'
"Perfectamente alineados = eclipse de luna exterior sobre luna interior,y sucesivamente? ?
Con la tierra alineada de Júpiter , es decir y es claro que el satélite tapa, su propia sombra, el limite esta cerca de 0.5 grados de desalineación de la tierra respecto eje,a partir de allí puede discernirse la sombra de su luna.
Según mi calculo la sombra de IO es un poco mas grande que la de Ganímedes, ya la foto me lleva la contra, pero , quizá sea la perspectiva, ya que ganímedes tiene la sombra a mayor latitud.