Las fases de Marte y de los planetas superiores

[Alriga]

Las fases de los planetas inferiores, Mercurio y Venus, son bien conocidas, puesto que a semejanza con la Luna nos presentan la gama completa: desde el disco completamente iluminado en la conjunción superior (similar a la Luna llena) hasta el círculo completamente oscuro de la conjunción inferior, (similar a la Luna nueva), pasando por lúnulas y cuartos crecientes y menguantes.

Lo que no es tan conocido es que los planetas superiores también presentan fases, lo que sucede es que no presentan la gama completa: la fase está siempre bastante cerca del disco plenamente iluminado y por eso es difícil de distinguir.

Llamamos ángulo de fase F al ángulo que forman el segmento Sol-planeta con el segmento planeta-Tierra.

En el diagrama de abajo se muestra una sección del planeta paralela a la visual Tierra-planeta. El lado visto desde la Tierra es el lado de la izquierda. El radio del planeta es R. Como la Tierra está muy lejos, todos los rayos de luz que parten del planeta y van hacia la Tierra pueden considerarse paralelos y por el mismo motivo también pueden considerarse paralelos todos los rayos que vienen del Sol hacia el planeta.

La parte iluminada vista desde la Tierra se ha coloreado en amarillo. La zona coloreada en naranja también está iluminada, pero no es visible desde la Tierra.

La mitad inferior amarilla de la imagen está plenamente iluminada por el Sol y su anchura es R. En la parte superior, solo está iluminada la parte de anchura $R \cos F$.

Si ahora observamos una sección transversal del planeta perpendicular a la línea de visión planeta-Tierra, (ver figura de abajo) :

Vemos que el área iluminada está constituida por un semicírculo inferior de superficie:

$A_{sci}=\dfrac{\pi R^2}2$

Más una semielipse superior de semieje mayor $a=R$ y semieje menor $b=R \cos F$ cuya área es:

$A_{sel}=\dfrac{\pi a b}2=\dfrac{\pi R (R \cos F)}2$

La superficie total de un círculo completo es:

$A_{tot}=\pi R^2$

Por lo tanto, la fracción de superficie iluminada, que es lo que llamamos fase $K$ será:

$K=\dfrac{A_{sci}+A_{sel}}{A_{tot}}$

$K=\dfrac{\dfrac{\pi R^2}2+\dfrac{\pi R (R \cos F)}2}{\pi R^2}=\cancel{\dfrac{\pi R}{\pi R}}\cdot \dfrac{R+R \cos F}{2 R}$

Simplificando:

$$\boxed{K=\dfrac{1+\cos F}2}$$

Al parámetro K se le llama fase y para un planeta inferior puede variar entre

• K=0 (0%) cuando desde la Tierra se ve el disco completamente oscuro (F=180º) y
• K=1 (100%) cuando el disco del planeta se ve completamente iluminado (F=0º)

Pero en un planeta superior el ángulo de fase F presenta un máximo, que corresponde a un mínimo del valor de la fase K. Para calcularlos, hagamos la aproximación de que la Tierra y el planeta superior tienen órbitas circulares y coplanarias. Al ángulo E que forman el segmento Tierra-Sol con el segmento Tierra-Planeta se le llama elongación, (es la separación angular aparente del planeta respecto del Sol vista desde la Tierra). En la imagen $a_1$ es la distancia media de la Tierra al Sol y $a_2$ la distancia media del planeta al Sol.

Aplicamos el teorema del seno en la primera imagen del artículo:

$\dfrac{\sin F}{a_1}=\dfrac{\sin E}{a_2}$

$$\sin F=\dfrac{a_1}{a_2} \ \sin E$$

$F=\arcsin \left (\dfrac{a_1}{a_2} \ \sin E \right )$

Para hallar los extremos del ángulo de fase (máximo y mínimo) derivamos e igualamos a cero:

$\dfrac{\partial F}{\partial E}=\dfrac{a_1}{\sqrt{a_2^2-a_1^2 \sin^2 E}} \ \cos E=0$

$\cos E=0$

El máximo ángulo de fase en valor absoluto se producirá cuando la elongación sea $E=\pm$ 90º, es decir cuando el planeta esté es cuadratura.

$$\sin F_M=\pm \dfrac{a_1}{a_2}$$

$$\boxed{\vert F_M \vert=\arcsin \left (\dfrac{a_1}{a_2} \right )}$$

Para calcular la fase mínima combinamos (1) y (3) convirtiendo previamente el seno en coseno.

$\cos F_M=\sqrt{1-\sin^2 F_M}=\sqrt{1-\dfrac{a_1^2}{a_2^2}}=\dfrac{\sqrt{a_2^2-a_1^2}}{a_2}$

$$\boxed{K_m=\dfrac{a_2+\sqrt{a_2^2-a_1^2}}{2 a_2}}$$

En la tabla que figura a continuación aparecen los ángulos de fase máximos y las fases mínimas de los cinco planetas superiores.

Como se observa, solo para el caso de Marte en el que la fase mínima es $K_m=0.8772$ ésta es apreciable. La imagen inferior refleja la fase mínima de Marte a escala. Las fases de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno están siempre tan cerca del 100% que no son distinguibles, al menos con instrumentos de aficionado.

Finalmente, con la simplificación de órbitas circulares, coplanarias y recorridas a velocidad constante, vamos a estimar cuanto tiempo transcurre desde la oposición hasta la cuadratura, momento en el que la fase es mínima. Llamamos $T_1$ al período de traslación de la Tierra y $T_2$ al período de traslación del planeta superior.

$A_1=\dfrac{2\pi}{T_1} t$

$A_2=\dfrac{2\pi}{T_2} t$

En el instante de la cuadratura E=90º y la trigonometría básica nos permite escribir:

$\cos(A_1-A_2)=\dfrac{a_1} {a_2}$

$\cos \left [ 2\pi t_c \left ( \dfrac 1{T_1}-\dfrac 1{T_2}\right ) \right ]=\dfrac{a_1} {a_2}$

$$\boxed{t_c=\dfrac{T_1T_2}{2\pi (T_2-T_1)} \ \arccos \dfrac{a_1}{a_2}}$$

Recordando la expresión del Período Sinódico de un planeta superior:

$T_s=\dfrac{T_1T_2}{T_2-T_1}$

La expresión del intervalo de tiempo entre oposición y cuadratura también se puede calcular:

$$\boxed{t_c=\dfrac{T_s}{2\pi} \ \arccos \dfrac{a_1}{a_2}}$$

Recordar que este es un valor medio aproximado: las órbitas no son circulares sino elípticas y no se recorren con velocidad constante. A continuación se ha tabulado ese tiempo de cuadratura medio para los planetas superiores.

Los astrónomos aficionados que intenten ver la fase de Marte en los momentos más favorables deben estar atentos aproximadamente 3 meses y medio antes y después de la oposición. Como se ha dicho previamente la fase de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno está siempre tan cerca del 100% que resulta inobservable con instrumentos de aficionado.

Para comprobar la verosimilitud del cálculo he buscado las fechas de las últimas 7 oposiciones de Marte y las de las correspondientes cuadraturas. La media aritmética de estos 14 intervalos temporales ha salido precisamente 106 días, como se ve en la tabla adjunta:

Saludos.

Título en inglés: "The phases of Mars and the superior planets"

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