Demostración de la 3ª ley de kepler

[angel relativamente]

Hola, me presento. Me llamo ángel y este es mi primer blog.
Bueno el trimestre pasado di en clase el tema de gravitación universal. A continuación expongo la demostración de la tercera ley de Kepler para órbitas circulares-

Johannes kepler (1571-1630) supuso que las órbitas de los planetas son elípticas. A partir del análisis riguroso y detallado de las observaciones sobre la posición aparente de los planetas vistos desde la Tierra que había realizado el astrónomo Tycho Brahe, Kepler formula tres leyes simples que describían con exactitud el movimiento de los planetas.
Las leyes de kepler pueden enunciarse del modo siguiente:

1. Los planetas se mueven en una trayectoria elíptica, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

2. Una línea recta (radio vector) trazada desde el Sol hasta un planeta barre areas iguales en tiempos iguales


3. El cuadrado de la duración del período de cada planeta es proporcional al cubo del radio de su órbita. Cuantitativamente, la tercera ley de Kepler puede expresarse así:
$\displaystyle \frac{r^3}{T^2}= constante$

Bueno, ahora es mi turno. Vamos a intentar darle una explicación a esa tercera ley
Sabemos que la fuerza centrípeta es igual que la fuerza gravitatoria.

$$\displaystyle F_c=F_G$$

$$\displaystyle F_c=m \cdot \frac{v^2}{r}$$

$$\displaystyle F_G=G\cdot\frac{m\cdot m'}{r^2}$$

Por tanto, podemos decir que:

$$\displaystyle m\cdot\frac{v^2}{r}=G\cdot\frac{m\cdot m'}{r^2}$$

Las masas se simplifican, ya que estan multiplicando en ambos miembros. Se nos quedaría:

$$\displaystyle \frac{v^2}{r}=G\cdot \frac{m'}{r^2}$$

Teniendo en cuenta que la velocidad lineal es igual a la velocidad angular por el radio
($\displaystyle v=\omega\cdot r$)

$$\displaystyle \frac{(\omega \cdot r)^2}{r}=G\cdot\frac{m'}{r^2}$$

$$\displaystyle \frac{\omega^2 \cdot r^2}{r}=G\cdot\frac{m'}{r^2}$$

$$\displaystyle \omega^2 \cdot r=G\cdot\frac{m'}{r^2}$$

Como la velocidad angular es el doble de pi partido por el período
($\displaystyle\omega=\frac{2\pi}{T}$) Tenemos que:

$$\displaystyle \left({\frac{2\pi}{T}}\right)^2 \cdot r=G\cdot\frac{m'}{r^2}$$

$$\displaystyle \frac {4\pi^2}{T^2} \cdot r=G\cdot\frac{m'}{r^2}$$

$$\displaystyle \frac {4\pi^2}{T^2} \cdot r^3=G \cdot m'$$

$$\displaystyle \frac{r^3}{T^2}=\frac{G \cdot m'}{4\pi^2}=Constante$$

Bueno, esa es la explicación que le di. Creo que esta bien, pero repito, acepto quejas y sugerencias.

Esta demostración es solo para órbitas circulares.

Saludos, Ángel.

[Laron]

Pero esa demostración no la hizo Ulises?

NaClu2

[angel relativamente]

Laron, parece ser que sí que la hizo Ulises, pero no lo sabía.

[ser humano]

Eso no es importante, antes tambien la hicieron muchos otros. Lo importante es lo magnifico que es que seas capaz de hacerlo vos tambien . Felicitaciones