Jugando con geometría y envases

[angel relativamente]

El otro día mi profesor de matemáticas me invitó a resolver un pequeño problema. Me dijo. Si tenemos un cilindro, ¿cómo aumentaremos más su volumen, añadiendole 1unidad de radio o añadiendole 1unidad de altura?

Yo tras recapacitar unos 5 segundos aproximadamente respondí sin apenas vacilar: Aumentará más su volumen si aumentamos 1unidad de radio, ya que en la fórmula del volumen del cilindro:

$$\displaystyle V=\pi r^2 \cdot h$$

el radio está al cuadrado, por tanto aumentará más. Le pregunté si estaba bien, y el me miraba con una sonrisa picarona y me dijo: "Piensa, piensa..., y ya mañana me dices algo".

Yo que al día siguiente tenía que estudiar para un exámen de historia, no me pude concentrar bien hasta que no sacase este problema. Empezé probando.

Vamos a tomar un cilindro de radio de la base 3u y de altura 1u.

Si añado 1u al radio tenemos:

$$\displaystyle V=\pi (3+1)^2 \cdot 1 =16\pi$$

Si añado 1u a la altura tenemos

$$\displaystyle V=\pi \cdot 3^2 (1+1)=18\pi$$

Acababa de ver que podíamos aumentar más el volumen aumentando 1u de altura que 1u de radio. Pero, ¿Esto es siempre así? Ahora vamos a tomar un cilindro de radio de la base 2u y de altura 1u. Primero le añadiré 1u a el radio y después a la altura.

$$\displaystyle V=\pi (2+1)^2 \cdot 1 = 9\pi$$

$$\displaystyle V=\pi 2^2 (1+1) = 8\pi$$

Al parecer, en este caso aumentaré más el volumen aumentanto 1u de radio que 1u de altura.
A la pregunta: ¿cómo aumentaremos más su volumen, añadiendole 1unidad de radio o añadiendole 1unidad de altura?
La única respuesta posible es: Depende de la relación que tenga ese cilindro ente la base y la altura. Ahora, ¿y qué relación ha de tener para que el volumen aumente igual si aumentamos 1u de base o de altura? Vamos a averiguarlo

$$\displaystyle \pi r^2(h+1)=\pi(r+1)^2 \cdot h$$

$\pi$ en los dos miembros, simplificamos y queda:

$$\displaystyle r^2(h+1)=h(r+1)^2$$

Para sacar la relación, vamos a darle a la altura el valor de 1u, para así saber cuanto ha de medir la base. $\displaystyle (R_{elacion}=\frac{r}{h})$

Sustituimos y nos queda:

$$\displaystyle r^2(1+1)=(r+1)^2$$

$$\displaystyle 2r^2=r^2+2r+1$$

$$\displaystyle r^2-2r-1=0$$

$$\displaystyle r=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1 \cdot (-1)}}{2\cdot 1}$$

$$\displaystyle r=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}$$

Puesto que estamos trabajando con geometría, eliminamos la solución negativa y se nos queda:

$$\displaystyle r=\frac{2+ \sqrt{4}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{2 + 2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}$$

Es decir, si:

$$\displaystyle \frac{r}{h}=1+\sqrt{2}$$

Aumentaré lo mismo el volumen aunmentando 1u de altura que 1u de radio.

$$\displaystyle \frac{r}{h}>1+\sqrt{2}$$

Aumentaré más el volumen aumentando 1u de altura que de radio.

$$\displaystyle \frac{r}{h}<1+\sqrt{2}$$

Aumentaré más el volumen aumentando 1u de radio que de altura.


Probé a hacer la misma relación con el cono a ver lo que salía, pero sale la misma $\displaystyle1+\sqrt{2}$, ya que:

$$\displaystyle \frac{1}{3} \pi r^2(h+1)=\frac{1}{3} \pi(r+1)^2 \cdot h$$

Simplificando se nos queda lo mismo:

$$\displaystyle r^2(h+1)=h(r+1)^2$$

Bueno aun no se lo he enseñado a mi profesor (se lo ensñaré mañana) ya que lo he hecho durante estas vacaciones de Semana Santa. Corríjanme si encuentran algún fallo.
Hasta otro día.
Gracias por leerme. Saludos.

~Blog de Ángel~

[Al2000]

Aceptemos la condición de incremento en 1 unidad como parte del problema, pero al establecer que h = 1 en (7) haz obtenido una solución particular. Si no asumes que h vale 1, entonces

$$r^2 (h+1) = h (r+1)^2 \quad \Rightarrow \quad r^2 - 2 r h - h = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac r h = 1 + \sqrt {1 + \frac 1 h}$$

Otra forma de abordar el problema, ya no para un incremento discreto simo mas bien para un incremento infinitesimal, es calcular la derivada del volumen respecto de cada variable

$$\frac {\partial V}{\partial r} = 2 \pi r h\,,\,\,\,\frac {\partial V}{\partial h} = \pi r^2$$

y obtener la razón de los incrementos

$$\frac {\partial V / \partial h}{\partial V / \partial r} = \frac r {2h}$$

donde vemos que si deseo incrementar el volumen del cilindro haciendo el menor cambio de dimensiones, me conviene aumentar la altura toda vez que $r > 2h$ o sino mejor aumentar $r$.

Un saludo,

Al